Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Enunciato

Siano $f, g : [a, b] \to ℝ$ due funzioni reali di variabile reale continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$ .

Allora esiste almeno un punto $c \in (a, b)$ tale che

[g (b) - g (a)] f^{'} (c) = [f (b) - f (a)] g^{'} (c) .

^[1]

Si noti che se $g^{'} (c) \neq 0$ (e dunque in particolare $g (b) \neq g (a)$ ), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

\frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} .

Si consideri la funzione $h$ di variabile reale definita nell'intervallo $[a, b]$ come

h (t) = [f (b) - f (a)] g (t) - [g (b) - g (a)] f (t)

Questa funzione è continua nell'intervallo $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$ , e

h (a) = [f (b) - f (a)] g (a) - [g (b) - g (a)] f (a) = f (b) g (a) - f (a) g (a) - f (a) g (b) + f (a) g (a) = f (b) g (a) - f (a) g (b) .

h (b) = [f (b) - f (a)] g (b) - [g (b) - g (a)] f (b) = f (b) g (b) - f (a) g (b) - f (b) g (b) + f (b) g (a) = - f (a) g (b) + f (b) g (a) .

Da cui $h (a) = h (b)$ .

La funzione $h$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto $c \in (a, b)$ in cui $h^{'} (c) = 0$ , cioè

[f (b) - f (a)] g^{'} (c) - [g (b) - g (a)] f^{'} (c) = 0 .

Considerando in particolare la funzione $g (t) = t$ , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
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