Serie di Bell

In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica $f$ e un numero primo $p$, si definisce come serie di Bell di $f$ modulo $p$ la serie formale di potenze $f_p(x)$ espressa come

$f_p(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Vale un teorema di unicità: date due funzioni moltiplicative $f$ e $g$, accade che $f=g$ se e solo se $f_p(x)=g_p(x)$ per tutti i primi $p.$

Vale anche un teorema di moltiplicazione: per ogni coppia di funzioni aritmetiche $f$ e $g$, denotiamo con $h=f*g$ la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo $p$ si ha

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se $f$ è una funzione completamente moltiplicativa, allora

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Esempi

Il seguente elenco presenta le serie di Bell delle funzioni aritmetiche più note.

• Funzione di Möbius: ${\mu }_p(x)=1-x.$
• Funzione toziente di Eulero: ${\varphi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• Funzione di Liouville: ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• Funzione potenza $k$-esima (con $k$ intero non negativo): $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$
• Funzione sigma: $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-{\sigma }_k(p)x+p^k{x}^2}.$

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).

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