Punto angoloso

Punto angoloso (funzione valore assoluto)

In analisi matematica, un punto angoloso è un punto $x_0$ del dominio di una funzione reale di una variabile reale $f(x)$ in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse:

$f{\text{'}}_{+}(x_0)\ne f{\text{'}}_{-}(x_0)$

Le derivate non devono essere entrambe infinite, altrimenti si ottiene una cuspide, ma possono essere entrambe finite oppure una finita e una infinita.

Un esempio di punto angoloso è $x_0=0$ per la funzione $f(x)=|x|$. Essendo $f(x)=x$ per $x\ge 0$ e $f(x)=-x$ per $x<0$ si ha $f^{\prime }(x)=+1$ se $x>0$ e $f^{\prime }(x)=-1$ se $x<0$. Nell'origine bisogna utilizzare la definizione di derivata.

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|}{h}$

In questo modo si vede che per $h$ che tende a $0^{+}$ il limite del rapporto incrementale è $1$, mentre per $h$ che tende a $0^{-}$ il limite del rapporto incrementale è $-1$.

Poiché in $x=0$ i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma diversi tra loro, la $f(x)$ non è derivabile in tale punto. Geometricamente questo significa che esistono due tangenti distinte in tal punto.

Voci correlate

• Cuspide (matematica)
• Derivata
• Studio di funzione
• Funzione analitica