Teorema di Schwarz

Template:Nota disambigua In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Il teorema in due variabili

Sia $f:\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$ una funzione in due variabili, definita su un aperto $\mathrm{\Omega }$ del piano ${ℝ}^2$. Se $f$ ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se $f\in C^2(\mathrm{\Omega })$, allora queste coincidono in ogni punto $p$, ovvero:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\equiv \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Come conseguenza, se una funzione $f:{ℝ}^n\to ℝ$ ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

Dimostrazione

Sia $p=(x_0,y_0)\in \mathrm{\Omega }$. Si scelgono due reali $\epsilon$, $\delta >0$ tali che $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\times (y_0-\delta ,y_0+\delta )\subset \mathrm{\Omega }$. Ciò è possibile, poiché $\mathrm{\Omega }$ è un aperto di ${ℝ}^2$.

Si definiscono due funzioni $F$ e $G$ come segue:

$F:(-\epsilon ,\epsilon )\subset ℝ\to ℝ$

$G:(-\delta ,\delta )\subset ℝ\to ℝ$

in modo che:

$F(t)=f(x_0+t,y_0+s)-f(x_0+t,y_0)\mathrm{\forall }s\in (-\delta ,\delta )$

$G(s)=f(x_0+t,y_0+s)-f(x_0,y_0+s)\mathrm{\forall }t\in (-\epsilon ,\epsilon )$

Si prova facilmente che, fissati $t$ e $s$ nei rispettivi intervalli:

$F(t)-F(0)=G(s)-G(0).$

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

$F(t)-F(0)=t{F}^{\prime }({\xi }_1)=t[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0+s)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0)]=ts\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0+{\xi }_1,y_0+{\sigma }_1)$

e analogamente:

$G(s)-G(0)=st\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0+{\xi }_2,y_0+{\sigma }_2),$

con ${\xi }_i\in (0,t)$ e ${\sigma }_i\in (0,s)$, dove per comodità di scrittura si sono assunti $t,s>0$.

Facendo tendere $t$ e $s$ a $0$ (e quindi anche ${\xi }_i$ e ${\sigma }_i$), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)$, cioè la tesi.

Esempio

Sia:

$f(x,y)=x^2{y}^2+y^{3}x$

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :

$f_x=2x{y}^2+y^3$

$f_y=2y{x}^2+3x{y}^2$

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:

$f_{xy}=4xy+3y^2$

$f_{yx}=4xy+3y^2$

Quindi $f_{xy}=f_{yx}$.

Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse

Il grafico della funzione f(x, y) di Peano qui accanto. Si può notare che è omogenea di grado 2, però girando attorno all'origine si sale e poi scende 4 volte, troppo per una forma quadratica in due variabili.

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente. Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}& \mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2\setminus (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

Si hanno derivate parziali prime continue:

$f_x(x,y)=\{\begin{array}{cc}y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\frac{2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}& \mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2\setminus (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

$f_y(x,y)=\{\begin{array}{cc}-x\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}-xy\frac{2y(x^2+y^2)-2y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2{)}^2}& \mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2\setminus (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:

$f_{xy}(0,0)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}=-1$

$f_{yx}(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=+1$

Dunque $f_{yx}\ne f_{xy}$.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.
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Voci correlate

• Differenziale esatto
• Equazione di Laplace
• Equazioni di Cauchy-Riemann

Collegamenti esterni

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