Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = $\frac{\pi }{3}$rad. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S₃.

Costruzione

Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

• Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
• Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
• Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
• Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule

Indicando con $l$ il lato del triangolo, con $P$ il perimetro, con $A$ l'area, con $b$ la base e con $h$ l'altezza si ha:

Perimetro

$P=l\cdot 3$

$l=\frac{P}{3}$

Area

$A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{l^2}{4}\cdot \sqrt{3}$

$h=\frac{A\cdot 2}{b}$

$b=\frac{A\cdot 2}{h}$

Altezza

$h=l\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Applicazioni del teorema di Pitagora

$h=\sqrt{l^2-{\left(\frac{l}{2}\right)}^2}=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}=\frac{\sqrt{l^2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{l\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{l}{2}\sqrt{3}$

$l=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

Circonferenza inscritta e circoscritta

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero

Il raggio della circonferenza circoscritta è $R=\frac{\sqrt{3}}{3}l$ da cui $l=R\sqrt{3}$

Il raggio della circonferenza inscritta è $r=\frac{\sqrt{3}}{6}l$ da cui $R=2\cdot r$

L'area, noto R, è $A=\frac{3\cdot R^2}{4}\cdot \sqrt{3}$

Voci correlate

• Criteri di congruenza dei triangoli
• Triangolo
• Triangolo isoscele
• Triangolo scaleno

Collegamenti esterni

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