Simbolo di Jacobi

Il simbolo di Jacobi è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri. Esso prende il nome dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi.

Definizione

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che utilizza la scomposizione in fattori primi dell'argomento inferiore. È definito come segue:

Sia n > 2 un numero naturale dispari e n = $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$. Per ogni intero a, il simbolo di Jacobi è $\left(\frac{a}{n}\right)={\left(\frac{a}{p_1}\right)}^{{\alpha }_1}{\left(\frac{a}{p_2}\right)}^{{\alpha }_2}\cdots {\left(\frac{a}{p_k}\right)}^{{\alpha }_k}$ dove $\left(\frac{a}{p}\right)$ con p primo è il simbolo di Legendre. Si conviene inoltre di porre $\left(\frac{a}{1}\right)=1$

Proprietà del simbolo di Jacobi

Il simbolo di Jacobi possiede alcune utili proprietà che consentono di velocizzare i calcoli rispetto all'uso diretto della definizione. Tra di esse si ricordano (si assuma che a e b siano interi e che m ed n siano interi positivi dispari):

1. Se n è primo, il simbolo di Jacobi è evidentemente uguale al simbolo di Legendre.
2. $\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$
3. $\left(\frac{a}{n}\right)=0$ se $(a,n)\ne 1$
4. $\left(\frac{ab}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$
5. $\left(\frac{a}{mn}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)$
6. Se a ≡ b (mod n), allora $\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right)$
7. $\left(\frac{1}{n}\right)=1$
8. $\left(\frac{a^{2}b}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right)$ se $(a,n)=1$
9. $\left(\frac{-1}{n}\right)=(-1{)}^{\left(\frac{n-1}{2}\right)}$ = 1 se n ≡ 1 (mod 4) e −1 se n ≡ 3 (mod 4)
10. $\left(\frac{2}{n}\right)=(-1{)}^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)}$ = 1 se n ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se n ≡ 3 o 5 (mod 8)
11. $\left(\frac{m}{n}\right)=\left(\frac{n}{m}\right)(-1{)}^{\left(\frac{m-1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}\right)}$

L'ultima proprietà è molto simile alla legge di reciprocità quadratica per il simbolo di Legendre.

Residui quadratici

Se $\left(\frac{a}{n}\right)=-1$, allora a non è un residuo quadratico di n perché non è un residuo quadratico di qualche fattore di n. Inoltre, se $\left(\frac{a}{n}\right)=0$, allora $(a,n)>1$. Tuttavia, se $\left(\frac{a}{n}\right)=1$ non si può dedurre che a sia un residuo quadratico di n perché è possibile che un numero pari di fattori di n siano non-residui, e quindi il prodotto dei loro simboli di Legendre valga ugualmente 1.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Capitolo 9.7)