Parallelepipedo

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. L'ampiezza degli angoli formati dalle sue facce può variare; quando gli angoli sono retti (formando un rettangolo per ogni faccia) si parla di parallelepipedo rettangolo.

Definizione

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

• un prisma la cui base è un parallelogramma;
• un esaedro le cui facce sono tutti parallelogrammi;
• un esaedro con tre coppie di facce parallele.

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

$\{l𝐚+m𝐛+n𝐜|0\le l,m,n\le 1\}$

determinato da tre vettori $𝐚,𝐛,𝐜$ linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con ${ℝ}^3$. Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

Tre vettori $𝐚,𝐛,𝐜$ definiscono un parallelepipedo. Il volume è dato dal determinante di questi tre vettori. Oppure dal prodotto fra l'area del parallelogramma di base e dell'altezza $h$.

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza $h$ fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{a}& =(a_1,a_2,a_3)\\ \overrightarrow{b}& =(b_1,b_2,b_3)\\ \overrightarrow{c}& =(c_1,c_2,c_3)\end{array}$

il volume è il prodotto triplo

$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

o equivalentemente, del determinante

$\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right].$

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverrà quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.

Un cuboide

Proprietà

Il parallelepipedo è un poliedro in cui ogni faccia è un poligono dotato di simmetria centrale, ed è quindi uno zonoedro. Le facce opposte sono parallelogrammi posti su piani paralleli.

Casi particolari

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

• un cuboide o parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
• un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
• un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

• un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
• un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
• un cubo è un parallelepipedo regolare.

Voci correlate

• Cubo

Collegamenti esterni

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