Conduttività elettrica

La conduttività elettrica, o conducibilità elettrica, indicata con $\sigma$, è la conduttanza elettrica specifica di un conduttore.

Definita da Stephen Gray nel 1731, il suo strumento di misura è il conducimetro. L'unità di misura del sistema internazionale è siemens su metro (S/m).

Formula

In presenza di un conduttore immerso in un campo elettrico uniforme in una direzione, come solitamente all'interno di un resistore, il potenziale in quella direzione è lineare:

$\sigma =\frac{I\ell }{S\mathrm{\Delta }V}=\frac{J\ell }{\mathrm{\Delta }V}$

dove:

• I è la corrente elettrica nel tratto
• J = I/S è la densità di corrente elettrica nel tratto
• ℓ è la lunghezza del tratto
• S è l'area della sezione trasversale del tratto
• ΔV è la differenza di potenziale misurata ai capi.

L’unità di misura è il S/metro. L'inverso della conduttività elettrica viene definito resistività: $\rho ={\sigma }^{-1}$.

Se la conduttività è costante, cioè non dipende dal valore della densità di corrente, il conduttore segue semplicemente la legge di Ohm e viene detto “ideale” o “ohmico”. Per i corpi anisotropi, come certi cristalli, la corrente generata da un campo elettrico non è parallela alla direzione del campo (non vale la legge di Ohm); in questi casi si può definire una matrice di conduttività tra la densità di corrente ed il campo elettrico:

$J_i={\sigma }_{ik}{E}_k$

In ogni caso la matrice di conduttività è simmetrica: ${\sigma }_{ik}={\sigma }_{ki}$.

I conduttori, come i metalli, hanno alta conduttività, mentre gli isolanti, come il vetro, e il vuoto hanno bassa conduttività. In un semiconduttore la conduttività risente di condizioni esterne come variazioni, anche piccole, di temperatura ed esposizione a campi elettrici o a radiazioni elettromagnetiche di determinate frequenze; in questo caso la seconda equazione non è più valida, mentre lo rimane la prima.

Metalli

I metalli in genere sono conduttori ohmici: la conduttività è costante al variare della densità di corrente che scorre nel metallo. La conduttività nei metalli varia invece molto in funzione della temperatura: un aumento di questa porta a una diminuzione della conducibilità perché i portatori di carica (gli elettroni) risentono di una diminuzione della mobilità a causa dell'aumento di vibrazioni reticolari all'interno del materiale. Quello che ha la più alta conducibilità è l'argento. il modello di Drude descrive la dipendenza della conduttività del metallo da parametri microscopici del reticolo metallico:

$\sigma =\frac{e^2}{m_e}n\tau$

dove:

• τ è il tempo di collisione, ossia l'intervallo medio tra due urti elettrone-reticolo atomico
• n è la densità numerica degli elettroni
• e è la carica dell'elettrone
• m è la massa dell'elettrone.

La principale dipendenza della conduttività dalla temperatura secondo questo modello è riconducibile al parametro τ, che è approssimabile con il rapporto tra la distanza interatomica e la velocità termica della particella:

$\tau =\frac{l}{v_T},v_T=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}$

Tuttavia l'andamento osservato sperimentalmente è diverso perché nei metalli reali sono sempre presenti delle imperfezioni del reticolo che ne discostano il comportamento da quello ideale (perfettamente regolare) e inoltre non tutti gli elettroni contribuiscono alla circolazione di carica elettrica:

$\sigma \propto \{\begin{array}{cc}\frac{1}{T}& \text{(alte T)}\\ \\ \frac{1}{T^5+\alpha N_{\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}}}& \text{(basse T)}\end{array}$

dove:

• $N_{\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}}$ è il numero di impurezze e difetti nel reticolo;
• $\alpha$ è una costante di proporzionalità.

Per ricavare un modello più preciso è necessario tener conto anche delle ipotesi della meccanica quantistica relativamente agli stati nel quale possono trovarsi gli elettroni e della meccanica statistica per quanto riguarda le distribuzioni energetiche delle particelle, come nel cosiddetto modello di Sommerfeld. Secondo il quale:

$\sigma =\frac{1}{3}{e}^{2}g(E_{\mathrm{F}})f(E_{\mathrm{F}};T)\tau v_{\mathrm{F}}^2$

dove:

• g è il numero di stati elettronici (densità) per energia
• f è la distribuzione di Fermi-Dirac
• τ è il tempo tra due urti (in questo caso quantistici)
• v è la velocità dell'elettrone
• il pedice F è relativo alle energia e velocità massime consentite dette di Fermi.

Conduttività relativa

In elettrotecnica si usa talvolta per comodità la conduttività relativa, prendendo come riferimento il rame (il conduttore standard):

${\sigma }_{\mathrm{C}\mathrm{u}}=5,8\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m}$

Quindi vale la relazione di conversione:

$\sigma ={\sigma }_{\mathrm{r}}{\sigma }_{\mathrm{C}\mathrm{u}}$

La conduttività relativa è un numero puro, che indica il rapporto rispetto alla conducibilità di riferimento (quella del rame).

Bibliografia

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Voci correlate

• Modello di Drude
• Legge di Ohm
• Conduttività termica
• Conduttore elettrico
• Conduttanza elettrica
• Conduttività ionica
• Conduttività ionica equivalente
• Resistività elettrica
• Trasporto di carica elettrica

Collegamenti esterni

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