In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, un insieme si dice transitivo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:
Allo stesso modo, una classe è detta transitiva se ogni elemento di è un sottoinsieme di .
Esempi
Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.
Uno qualsiasi dei livelli e che portano alla costruzione dell'universo di von Neumann e dell'universo costruibile di Gödel sono insiemi transitivi. Gli universi e sono essi stessi classi transitive.
Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi:[1]
Proprietà
Un insieme è transitivo se e solo se , dove è l'unione di tutti gli elementi di che sono insiemi, .
Se è transitivo, anche è transitivo.
Se e sono transitivi, e sono transitivi. In generale, se è una classe i cui elementi sono insiemi transitivi, allora e sono transitivi. (La prima affermazione di questo paragrafo si ottiene nel caso di .)
Un insieme che non contiene Ur-elementi è transitivo se e solo se è un sottoinsieme del proprio insieme potenza, L'insieme potenza di un insieme transitivo senza Ur-elementi è transitivo.
Chiusura transitiva
La chiusura transitiva di un insieme è il più piccolo insieme transitivo che contiene come sottoinsieme, .[2] Dato l'insieme , la sua chiusura transitiva risulta essere
Infatti, denotando e , vogliamo mostrare che l'insieme
è transitivo e che per ogni insieme transitivo che contiene come sottoinsieme, si abbia .
Mostriamo che è transitivo. Siano . Ma allora esiste tale che e pertanto . Poiché , si ha e è transitivo.
Sia ora come sopra. Mostriamo per induzione che per ogni e dunque che . Il caso base vale essendo per ipotesi . Ora supponiamo . Allora . Ma è transitivo, quindi e dunque . Questo completa la dimostrazione.
Modelli transitivi della teoria degli insiemi
Template:...
Note
Voci correlate
Template:Teoria degli insiemi