Simmetria assiale nel piano complesso

Template:F Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

Casi particolari

Simmetria rispetto all'asse delle ascisse Ox

La simmetria rispetto all'asse delle ascisse $Ox$ è la trasformazione:

$\begin{array}{cc}{S}_x:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=\bar{z}\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il suo complesso coniugato $z^{\prime }=\bar{z}$.

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, si ottiene che

$z^{\prime }=\bar{z}=\rho (\cos (-\vartheta )+i\sin (-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ascisse $Ox$.

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al suo coniugato $\bar{z}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto all'asse delle ascisse $Ox$.

Simmetria rispetto all'asse delle ordinate Oy

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate $Oy$ è la trasformazione:

$\begin{array}{cc}{S}_y:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=-\bar{z}\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ l'opposto del suo coniugato $z^{\prime }=-\bar{z}$.

Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$,

$z^{\prime }=-\bar{z}=e^{i\pi }\bar{z}=\rho (\cos (-\vartheta +\pi )+i\sin (-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ordinate $Oy$

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ all'opposto del suo coniugato $-\bar{z}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto all'asse delle ordinate $Oy$.

Simmetria rispetto alla bisettrice y=x

La trasformazione

$\begin{array}{cc}{S}_{y=x}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=i\bar{z}\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $i\bar{z}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante $y=x$.

Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

$z^{\prime }=i\bar{z}=e^{i\frac{\pi }{2}}\bar{z}=\rho (\cos (-\vartheta +\frac{\pi }{2})+i\sin (-\vartheta +\frac{\pi }{2}))=\rho e^{i(-\vartheta +\frac{\pi }{2})}$

coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y=x$.

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al prodotto $i\bar{z}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta $y=x$, bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Simmetria rispetto alla bisettrice y=-x

La trasformazione

$\begin{array}{cc}{S}_{y=-x}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=-i\bar{z}\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $-i\bar{z}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante $y=-x$.

Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, la rappresentazione nel piano cartesiano di

$z^{\prime }=-i\bar{z}=e^{i\frac{3}{2}\pi }\bar{z}=\rho (\cos (-\vartheta +\frac{3}{2}\pi )+i\sin (-\vartheta +\frac{3}{2}\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\frac{3}{2}\pi )}$

coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y=-x$.

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al prodotto $-i\bar{z}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta $y=-x$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Simmetria rispetto alla retta y=y₀

Dato ${\omega }_0=2y_{0}i$, la trasformazione

$\begin{array}{cc}{S}_{y=y_0}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=\bar{z}+{\omega }_0=\bar{z}+2y_{0}i\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso $\bar{z}+2y_{0}i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $y=y_0$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $x$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se $z=x+iy$, allora

$\bar{z}=x-iy$

e

$\bar{z}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_0-y)$

il che equivale a

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=2y_0-y,\end{array}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $y=y_0$.

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z^{\prime }=\bar{z}+2y_{0}i$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $y=y_0$.

Simmetria rispetto alla retta x=x₀

Dato $t=2x_{0}i$, la trasformazione

$\begin{array}{cc}{S}_{x=x_0}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=-\bar{z}+t=-\bar{z}+2x_0\end{array}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso $-\bar{z}+2x_{0}i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $x=x_0$.

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $y$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se $z=x+iy$, allora

$\bar{z}=x-iy$

e

$-\bar{z}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_0-x)+iy$

il che equivale a

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2x_0-x\\ y^{\prime }=y,\end{array}$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $x=x_0$.

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z^{\prime }=-\bar{z}+2x_0$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $x=x_0$.

Voci correlate

• Simmetria assiale
• Traslazione (geometria)
• Traslazione nel piano complesso
• Trasformazione geometrica piana