Fattorione

Template:O In teoria dei numeri, un fattorione in una data base numerica $b$ è un numero naturale che è uguale alla somma dei fattoriali delle sue cifre. Il nome fattorione è stato coniato da Clifford A. Pickover.

Definizione

Sia $n$ un numero naturale. Definiamo la somma del fattoriale delle cifre di $n$ in una base $b>1$ come la funzione $SF{D}_b:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ data da:

$SF{D}_b(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d}_i!.$

dove $k=\lfloor {\log }_{b}n\rfloor +1$ è il numero di cifre nel numero in base $b$, $n!$ è il fattoriale di $n$ e

$d_i=\frac{nmod{b}^{i+1}-nmod{b}^i}{b^i}$

è il valore di ogni cifra del numero. Un numero naturale $n$ è un $b$-fattorione se è un punto fisso per $SF{D}_b$, cioè se $SF{D}_b(n)=n$. $1$ e $2$ sono punti fissi per tutte le basi $b$, e quindi sono fattorioni banali in ogni base; tutti gli altri eventuali fattorioni sono fattorioni non banali.

Ad esempio, il numero 145 in base $b=10$ è un fattorione perché $145=1!+4!+5!.$

Similmente a quanto si ha con la fattorizzazione, un numero naturale $n$ è un fattorione socievole se è un punto periodico per $SF{D}_b$, cioè $SF{D}_b^k(n)=n$ per un numero intero positivo $k$ e pertanto $n$ forma un ciclo di periodo $k$. Un fattorione è un fattorione socievole con $k=1$, e un fattorione amichevole è un fattorione socievole con $k=2$.

Tabella dei fattorioni e dei cicli di SFD_b

Tutti i numeri sono rappresentati in base $b$.

Base $b$	Fattorioni non banali ( $n\ne 1$, $n\ne 2$ )	Cicli
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	$\varnothing$	$\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\varnothing$
6	41, 42	$\varnothing$
7	$\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Voci correlate

• Numero felice
• Numero di Kaprekar
• Numero di Armstrong
• Numero di Münchhausen

Collegamenti esterni

• Template:En Fattorioni presso Wolfram MathWorld