Funzione di Čebyšëv

In matematica, la Funzione di Čebyšëv può essere una di due funzioni strettamente legate. La prima funzione di Čebyšëv $\vartheta (x)$ o $\theta (x)$ è data da

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p$

con la somma estesa a tutti i numeri primi $p$ che sono minori uguali a $x$.

La seconda funzione di Čebyšëv $\psi (x)$ è definita similmente, con la somma estesa a tutte le potenze dei numeri primi minori di $x$

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb{N}}\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p,$

dove $\mathrm{\Lambda }$ è la funzione di von Mangoldt. Le funzioni di Čebyšëv , specialmente la seconda $\psi (x)$, sono spesso usate nelle dimostrazioni legate ai numeri primi, poiché è più semplice lavorare con esse che con la funzione enumerativa dei primi, $\pi (x)$ (Vedi la formula esatta, sotto.). Entrambe le funzioni di Čebyšëv sono asintotiche a $x$, una relazione valida anche nella teorema dei numeri primi.

Entrambe le funzioni sono nominate in onore di Pafnutij L'vovič Čebyšëv.

Relazioni

La seconda funzione di Chebyshev può essere vista come una relazione alla prima scrivendola come

$\psi (x)=\sum _{p\le x}k\log p$

dove $k$ è l'intero univoco tale che $p^k\le x$ e $x<p^{k+1}$. I valori di $k$ sono dati a OEIS:Template:Collegamento interrotto. Una relazione più diretta è data da

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right).$

Notare che quest'ultima somma ha un numero finito ti termini non nulli, come

$\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=0\text{for}n>{\log }_{2}x=\frac{\log x}{\log 2}.$

La seconda funzione di Čebyšëv è il logaritmo del minimo comune multiplo degli interi da 1 a $n$.

$\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

I valori di $lcm(1,2,...,n)$ per gli interi variabili $n$ sono dati a OEIS:Template:Collegamento interrotto.

Asintoti e limiti

Sono noti i seguenti limiti per la funzione di Čebyšëv: (in queste formule $p_k$ è il $k$esimo numero primo $p_1=2$ , $p_2=3$, etc.)

$\begin{array}{cccc}\vartheta (p_k)& \ge k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2,050735}{\ln k})& & \text{per }k\ge 10^{11},\\ [8px]\vartheta (p_k)& \le k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2}{\ln k})& & \text{per }k\ge 198,\\ [8px]|\vartheta (x)-x|& \le 0,006788\frac{x}{\ln x}& & \text{per }x\ge 10544111,\\ [8px]|\psi (x)-x|& \le 0,006409\frac{x}{\ln x}& & \text{per }x\ge e^{22},\\ [8px]0,9999\sqrt{x}& <\psi (x)-\vartheta (x)<1,00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}& & \text{per }x\ge 121.\end{array}$

Inoltre, sotto l'ipotesi di Riemann,

$\begin{array}{cc}|\vartheta (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\\ |\psi (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\end{array}$

per ogni $\epsilon >0$

I limiti superiori esistono per entrambe $\vartheta (x)$ e $\psi (x)$ tali che,

$\begin{array}{cc}\vartheta (x)& <1,000028x\\ \psi (x)& <1,03883x\end{array}$

per ogni $x>0$.

Una spiegazione della costante 1,03883 è data a OEIS:Template:Collegamento interrotto.

La formula esatta

Nel 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt provò una formula esplicita per $\psi (x)$ come una somma degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann:

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

(Il valore numerico di $\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}$ è $log(2\pi )$.) Qui $p$ assume i valori degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, e ${\psi }_0$ è la stessa $\psi$, eccetto che i suoi salti di discontinuità (le potenze dei primi) assumono il valore a metà tra i varoi di sinistra e di destra:

${\psi }_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)+\sum _{n<x}\mathrm{\Lambda }(n))=\{\begin{array}{cc}\psi (x)-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }(x)& x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]\psi (x)& \text{altrimenti.}\end{array}$

Dalla serie di Taylor per il logaritmo, l'ultimo termine nella formula esplicita può essere inteso come una sommatoria di $\frac{x^{\omega }}{\omega }$ degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, $\omega$ = −2, −4, −6, ..., cioè

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2k}}{-2k}=\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine Similmente, il primo termine, $x=\frac{x^1}{1}$, corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine

Proprietà

Un teorema dovuto a Erhard Schmidt afferma che, per alcune costanti positive esplicite $k$, ci sono infiniti numeri naturali $x$ tali che

$\psi (x)-x<-K\sqrt{x}$

e infiniti numeri naturali $x$ tali che

$\psi (x)-x>K\sqrt{x}.$

In notazione $o$-piccolo, si potrebbe scrivere quanto sopra come

$\psi (x)-x\ne o\left(\sqrt{x}\right).$

Hardy e Littlewood dimostrarono, che

$\psi (x)-x\ne o(\sqrt{x}\log \log \log x).$

Relazioni al primoriale

La prima funzione di Čebyšëv è il logaritmo di primoriale di $x$, indicato come $x\mathrm{\#}$:

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p=\log \prod _{p\le x}p=\log \left(x\mathrm{\#}\right).$

Questo prova che il primorile $x\mathrm{\#}$ è asintoticamente uguale a $e^{(1+o(1))x}$, dove "$o$" è la notazione $o$-piccolo (vedi notazione $o$-piccolo) e insieme al teorema dei numeri primi determina il comportamento asintotico di $p_n\mathrm{\#}$.

Relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi

La funzione di Čebyšëv può essere messa in relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi come segue. Definiamo

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}.$

Quindi

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)\underset{n}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{1}{\log x}\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\psi (t)dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{\psi (x)}{\log x}.$

La transizione da $\mathrm{\Pi }$ alla funzione enumerativa dei numeri primi, $\pi$, è data dall'equazione

$\mathrm{\Pi }(x)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi \left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{3}\pi \left(\sqrt[3]{x}\right)+\cdots$

Sicuramente $\pi (x)\le x$, quindi, per motivi di approssimazione, quest'ultima relazione può essere riformulata come

$\pi (x)=\mathrm{\Pi }(x)+O\left(\sqrt{x}\right).$

L'ipotesi di Riemann

L'ipotesi di Riemann afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno come parte reale Template:Sfrac. In questo caso, $|z^p|=\sqrt{x}$, e può essere dimostrato che

$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }=O\left(\sqrt{x}{\log }^{2}x\right).$

Quanto sopra, implica che

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

Una buona prova che l'ipotesi potrebbe essere vera viene dal fatto proposto da Alain Connes e altri, che se differenziamo la formula di von Mangoldt rispetto a $x$ otteniamo $x=e^u$ . Manipolandola, otteniamo la formula di traccia per l'esponenziale dell'operatore hamiltoniano che soddisfa

$\zeta (\frac{1}{2}+i\hat{H})|n\ge \zeta (\frac{1}{2}+i{E}_n)=0,$

e

$\sum _n{e}^{iu{E}_n}=Z(u)=e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}}\frac{d{\psi }_0}{du}-\frac{e^{\frac{u}{2}}}{e^{3u}-e^u}=\mathrm{Tr}\left(e^{iu\hat{H}}\right),$

dove la somma trigonometrica può essere considerata la traccia dell'operatore (meccanica statistica) $e^{iu\hat{H}}$, che è vero solo se $p=\frac{1}{2}+iE(n)$.

Usando l'approccio semiclassico il potenziale di $H=T+V$ soddisfa:

$\frac{Z(u)u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}\sim \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i(uV(x)+\frac{\pi }{4})}dx$

con $Z(u)\to 0$ come $u\to \mathrm{\infty }$.

soluzione a questa equazione integrale non lineare può essere ottenuta (tra gli altri) come

$V^{-1}(x)\approx \sqrt{4\pi }\cdot \frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}N(x)$

per ottenere l'inverso del potenziale:

$\pi N(E)=\mathrm{Arg}\xi (\frac{1}{2}+iE).$

Funzione liscia

La funzione liscia è definita come

${\psi }_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (t)dt.$

Può essere dimostrato che

${\psi }_1(x)\sim \frac{x^2}{2}.$

Varianti della formula

La funzione Čebyšëv valutata in $x=e^t$ minimizza la funzionalità

$J[f]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(s){\zeta }^{\prime }(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}ds-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(s)f(t)dsdt,$

quindi

$f(t)=\psi \left(e^t\right)e^{-ct}\text{per }c>0.$

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. Chebyshev functions. MathWorld.
• "Mangoldt summatory function". PlanetMath.
• "Chebyshev functions". PlanetMath.
• Riemann's Explicit Formula, con immagini e video