Metodo di Eulero semi-implicito

In matematica il metodo di Eulero semi-implicito, detto anche Eulero simplettico, Eulero semi-esplicito, Eulero-Cromer, e Newton-Størmer-Verlet (NSV), è una variante del metodo di Eulero usato per risolvere equazioni di Hamilton. È un integratore simplettico, pertanto consente di ottenere risultati migliori rispetto al metodo di Eulero semplice.

Impostazione del problema

Il metodo può essere applicato ad una coppia di equazioni differenziali nella forma

$\frac{dx}{dt}=f(t,v)$

$\frac{dv}{dt}=g(t,x)$

dove $f$ e $g$ sono funzioni date e $x$ e $v$ possono essere vettori o scalari. Le equazioni di Hamilton assumono questa forma se la funzione hamiltoniana ha la forma

$H=T(t,v)+V(t,x)$

Inoltre le condizioni iniziali devono essere note:

$x(t_0)=x_0$

$v(t_0)=v_0$

Formulazione del metodo

Il metodo produce una soluzione discreta approssimata iterando le seguenti funzioni:

$v_{n+1}=v_n+g(t_n,x_n)\mathrm{\Delta }t$

$x_{n+1}=x_n+f(t_n,v_{n+1})\mathrm{\Delta }t$

dove $\mathrm{\Delta }t$ è l'intervallo di tempo e $t_n=t_0+n\mathrm{\Delta }t$ è il tempo dopo $n$ iterazioni.

La differenza con il metodo di Eulero classico consiste nel fatto che il metodo semi-implicito usa $v_{n+1}$ nell'equazione per $x_{n+1}$, mentre il metodo classico usa $v_n$.

Utilizzando il metodo con un intervallo di tempo negativo per calcolare $(x_n,v_n)$ da $(x_{n+1},v_{n+1})$ consente di ottenere la seconda variante del metodo di Eulero semi-implicito:

$x_{n+1}=x_n+f(t_n,v_n)\mathrm{\Delta }t$

$v_{n+1}=v_n+g(t_n,x_{n+1})\mathrm{\Delta }t$

la quale presenta simili proprietà.

Il metodo di Eulero semi-implicito, come quello classico, è un integratore del primo ordine: ciò significa che produce un errore dell'ordine di Δt. Tuttavia, a differenza del metodo classico, quello semi-implicito è un integratore simplettico, perciò conserva quasi inalterata l'energia (se la funzione hamiltoniana è indipendente dal tempo), mentre nel metodo classico essa aumenta costantemente.

Alternare le due varianti del metodo semi-implicito conduce, in una forma semplificata, all'integrazione di Størmer-Verlet e in un'altra forma semplificata al metodo del salto della rana, aumentando sia l'ordine dell'errore che quello della conservazione dell'energia.

Il metodo di Eulero semi-implicito rappresenta correttamente il sistema simulato se le radici complesse dell'equazione caratteristica si trovano all'interno di questa circonferenza:

Come si può vedere, il metodo è in grado di simulare correttamente sia sistemi stabili che instabili. Ciò costituisce un vantaggio rispetto al metodo classico e a quello implicito.

Esempio

Il moto di una molla, seguendo la legge di Hooke, si può rappresentare come:

$\frac{dx}{dt}=v(t)$

$\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}x=-{\omega }^{2}x$

Il metodo di Eulero semi-implicito in questo caso è:

$v_{n+1}=v_n-{\omega }^2{x}_n\mathrm{\Delta }t$

$x_{n+1}=x_n+v_{n+1}\mathrm{\Delta }t$

Sostituendo $v_{n+1}$ nella seconda equazione con l'espressione data dalla prima equazione, l'iterazione può essere espressa nella seguente forma matriciale:

$\left[\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ v_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-{\omega }^2\mathrm{\Delta }{t}^2& \mathrm{\Delta }t\\ -{\omega }^2\mathrm{\Delta }t& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ v_n\end{array}\right]$

Bibliografia

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Voci correlate

• Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie
• Metodo di Eulero
• Metodo di Eulero all'indietro
• Equazione differenziale ordinaria
• Meccanica hamiltoniana

Collegamenti esterni

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