Gruppo di Galois assoluto

Template:S Il gruppo di Galois assoluto di un campo $K$ è per definizione il gruppo di Galois di $K_{s}$ su $K$ , dove $K_{s}$ denota la chiusura separabile di $K$ . In alternativa può essere definito come il gruppo di tutti gli automorfismi di $K_{s}$ che fissano $K$ . Si noti che se $K$ è un campo perfetto (come nel caso in cui $K$ ha caratteristica zero o è un campo finito), allora $K_{s}$ coincide con la chiusura algebrica $\bar{K}$ di $K$ .

Esempi

Il gruppo di Galois assoluto di un campo algebricamente chiuso è banale.
Il gruppo di Galois assoluto del campo dei numeri reali è un gruppo ciclico di due elementi (il coniugio complesso e l'identità), poiché $ℂ$ è la chiusura separabile di $ℝ$ e $[ℂ : ℝ] = 2 .$
Il gruppo di Galois assoluto di un campo finito $K$ è isomorfo al gruppo

\hat{𝐙} = \lim_{\leftarrow} 𝐙 / n 𝐙 .

(Per la notazione vedere limite inverso.)

F r

è un generatore (topologico) canonico di

G_{K}

(si ricordi che

F r (x) = x^{q}

per ogni

x \in K^{a l g}

, dove

q

è il numero di elementi di

K

).

Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un gruppo profinito). Questo risultato è dovuto a Adrien Douady e ha le sue origini nel teorema di esistenza di Riemann.^[1]
Più in generale, sia $C$ un campo algebricamente chiuso e $x$ una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di $K = C (x)$ è libero di rango uguale alla cardinalità di $C .$ Questo risultato è dovuto a David Harbater e Florian Pop, e fu dimostrato nuovamente in seguito da Dan Haran e Moshe Jarden usando metodi algebrici.^[2]^[3]^[4]
Sia $K$ un'estensione finita del campo dei numeri p-adici $ℚ_{p} .$ Per $p \neq 2,$ il suo gruppo di Galois assoluto è generato da $[K : ℚ_{p}] + 3$ elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg.^[5]^[6] Alcuni risultati sono noti per il caso $p = 2,$ ma la struttura per $ℚ_{2}$ non è nota.^[7]
Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei numeri algebrici.^[8]