Porta NOT controllata

Nell'informatica, la porta NOT controllata (anche C-NOT o CNOT) è una porta quantistica; ed è un componente essenziale nella costruzione di un computer quantistico. Può essere utilizzato per entangle e disentangle gli stati EPR. Qualsiasi circuito quantistico può essere simulato con un grado arbitrario di accuratezza utilizzando una combinazione di porte CNOT e rotazioni sul singolo qubit.

Operazioni

La porta CNOT opera su un registro quantistico costituito da 2 qubit. La porta CNOT inverte il secondo qubit (il qubit target) se e solo se il primo qubit (il qubit di controllo) è $|1⟩$.

INPUT		OUTPUT
Controllo	Target	Controllo	Target
$|0⟩$	$|0⟩$	$|0⟩$	$|0⟩$
$|0⟩$	$|1⟩$	$|0⟩$	$|1⟩$
$|1⟩$	$|0⟩$	$|1⟩$	$|1⟩$
$|1⟩$	$|1⟩$	$|1⟩$	$|0⟩$

Se si consente solo $\{|0⟩,|1⟩\}$ come valori di input per entrambi i qubit, l'uscita TARGET della porta CNOT corrisponde al risultato di una porta XOR classica. Fissando l'ingresso di CONTROLLO a $|1⟩$, l'uscita TARGET della porta CNOT produce il risultato di una porta NOT classica.

Più in generale, gli input possono essere una sovrapposizione lineare di $\{|0⟩,|1⟩\}$. La porta CNOT trasforma lo stato quantico:

$a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$

in:

$a|00⟩+b|01⟩+c|11⟩+d|10⟩$

La porta CNOT può essere rappresentata dalla matrice (forma della matrice di permutazione):

$\mathrm{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right].$

La prima realizzazione sperimentale di una porta CNOT fu compiuta nel 1995. Qui fu usato un singolo ione berillio in una trappola. I due qubit sono stati codificati in uno stato ottico e nello stato vibrazionale dello ione all'interno della trappola. Al momento dell'esperimento, l'affidabilità dell'operazione CNOT è stata misurata nell'ordine del 90%.

Oltre a una normale porta NOT controllata, è possibile costruire una porta NOT controllata dalla funzione che accetta un numero arbitrario n + 1 di qubit come input, dove n + 1 è maggiore o uguale a 2 (un registro quantistico). Questa porta inverte l'ultimo qubit del registro se e solo se una funzione incorporata, con i primi n qubit come input, restituisce un 1. La funzione della porta NOT controllata è un elemento essenziale dell'algoritmo di Deutsch-Jozsa.

Comportamento nella base trasformata di Hadamard

La porta CNOT nella base trasformata di Hadamard.

Se visto solo nella base computazionale $\{|0⟩,|1⟩\}$, il comportamento del C_NOT sembra essere come l'equivalente porta classica. Tuttavia, la semplicità nell'etichettare il qubit di controllo e il target non riflette la complessità di ciò che accade per la maggior parte dei valori di input di entrambi i qubit.

L'intuizione può essere vinta esprimendo la porta C_NOT rispetto ad una base trasformata di Hadamard $\{|+⟩,|-⟩\}$. La base trasformata di Hadamard di un registro di un qubit è data da

$|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩),|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩),$

e la base corrispondente di un registro a 2 qubit è

$|++⟩=|+⟩|+⟩=\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩)(|0⟩+|1⟩)=\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)$,

ecc. Utilizzando un C_NOT su questa base, lo stato del secondo qubit rimane invariato, e lo stato del primo qubit viene capovolto, in base allo stato del secondo bit. (Per i dettagli vedi sotto). Così, in questa base, il senso di quale bit sia il bit di controllo e quale il bit target viene invertito, ma non abbiamo affatto cambiato la trasformazione, solo il modo in cui ci stiamo pensando.

La base computazionale $\{|0⟩,|1⟩\}$ è la base di autovettori per la rotazione nella direzione Z, mentre la base di Hadamard $\{|+⟩,|-⟩\}$ è la base di autovettori per ruotare nella direzione X. Passando a X e Z e ai qubit 1 e 2, quindi, si ripristina la trasformazione originale. Ciò esprime una simmetria fondamentale della porta CNOT.

Osservare che entrambi i qubit sono (ugualmente) influenzati in un'interazione C_NOT è importante quando si considera il flusso di informazioni in sistemi quantici correlati.

Dettagli del calcolo

Lavorando attraverso ciascuno degli stati base di Hadamard, il primo qubit si sposta tra $|+⟩$ e $|-⟩$quando il secondo qubit è $|-⟩$:

Stato iniziale in base Hadamard	Stato equivalente in base computazionale	Operatore applicato	Stato in base computazionale dopo CNOT	Stato equivalente in base Hadamard
$|++⟩$	$\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)$	CNOT	$\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩+|11⟩+|10⟩)$	$|++⟩$
$|+-⟩$	$\frac{1}{2}(|00⟩-|01⟩+|10⟩-|11⟩)$	CNOT	$\frac{1}{2}(|00⟩-|01⟩+|11⟩-|10⟩)$	$|--⟩$
$|-+⟩$	$\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩-|10⟩-|11⟩)$	CNOT	$\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩-|11⟩-|10⟩)$	$|-+⟩$
$|--⟩$	$\frac{1}{2}(|00⟩-|01⟩-|10⟩+|11⟩)$	CNOT	$\frac{1}{2}(|00⟩-|01⟩-|11⟩+|10⟩)$	$|+-⟩$

Un circuito quantistico che esegue una trasformata di Hadamard seguita da C_NOT e un'altra trasformata di Hadamard e può essere descritto in termini di operatori matriciali:

(H₁ ⊗ H₁)⁻¹ . C_NOT . (H₁ ⊗ H₁)

La trasformata di Hadamard a singolo qubit, H1, è la sua stessa inversa. Il prodotto tensoriale di due trasformate di Hadamard che operano (indipendentemente) su due qubit è etichettato come H2. Possiamo quindi scrivere le matrici come:

H₂ . C_NOT . H₂

Quando viene moltiplicato, questo produce una matrice che scambia i termini $|01⟩$ e $|11⟩$, lasciando invariati i termini $|00⟩$ e $|10⟩$. Questo è equivalente a una porta CNOT dove il qubit 2 è il controllo mentre il qubit 1 è il target:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\end{array}\right].\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$

Costruire uno stato di Bell

Un'applicazione comune del gate C_NOT consiste nel correlare al massimo due qubit nello stato di Bell $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$; questo fa parte della configurazione della codifica superdensa, del teletrasporto quantistico e degli algoritmi di crittografia quantistica.

Nel costruire $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$, gli ingressi A (controllo) e B (target) alla porta C_NOT sono:

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩{)}_A$ e $|0{⟩}_B$

Dopo aver applicato C_NOT, lo stato Bell risultante $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$ ha la proprietà che i singoli qubit possono essere misurati usando qualsiasi base e presenteranno sempre una possibilità 50/50 di risoluzione per ciascuno stato. In effetti, i singoli qubit sono in uno stato indefinito. La correlazione tra i due qubit è la descrizione completa dello stato dei due qubit; se scegliamo la stessa base per misurare i due qubit, troveremo che le misurazioni saranno perfettamente correlate.

Osservando i calcoli sembra che il qubit A stia influenzando il qubit B. MA cambiando il nostro punto di vista con la base di Hadamard si dimostra che, in modo simmetrico, il qubit B sta influenzando il qubit A.

Lo stato di input può essere alternativamente visualizzato come:

$|+{⟩}_A$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+⟩+|-⟩{)}_B$

Da questo punto di vista, i qubit di controllo e di target sono concettualmente scambiati e il qubit A è invertito quando il qubit B è $|-{⟩}_B$. Lo stato dell'uscita dopo l'applicazione della porta C_NOT diventa$\frac{1}{\sqrt{2}}(|++⟩+|--⟩)$ che si può dimostrare essere esattamente lo stesso stato di $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$.

Porta C-ROT

La porta C-ROT (rotazione Rabi controllata) equivale a una porta C-NOT ad eccezione di una rotazione $\pi /2$ del nucleo attorno a asse z.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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