Teorema di Stone

Template:S Nella teoria dei gruppi, il teorema di Stone afferma che dato un gruppo ad un parametro fortemente continuo di operatori unitari $U(t)$ definiti sullo spazio di Hilbert $H,$ esiste un dominio denso $D(A)$ in $H$ in cui per ogni $\psi \in D(A)$ si ha

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{U(t)-I}{it}\psi =\frac{1}{i}\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}\psi =A\psi ,$

con $A:D(A)\to H$ operatore autoaggiunto e $U(t)=e^{itA}.$

Una delle conseguenze più importanti di questo teorema è l'assioma dell'evoluzione degli stati puri in meccanica quantistica nel quale si afferma che l'evoluzione di uno stato puro, descritto da $\psi \in H.$

Un sistema isolato in meccanica quantistica è dato da $\psi (t)=U(t)\psi$ nel quale il proiettore è $U(t)=e^{\frac{-i\mathrm{H}t}{\hslash }}$ nel quale $\mathrm{H}$ è l'hamiltoniana quantistica che descrive l'energia del sistema.