Limite di Laplace

In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto forma di serie. Il suo valore approssimato è

0,66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

L'equazione di Keplero

$M=E-e\sin E$

è usata in astronomia e correla l'anomalia media $M$ con l'anomalia eccentrica $E$ di un corpo che si muove attraverso una traiettoria ellittica con eccentricità $e$. Questa equazione non ha soluzioni per $E$ in termini di funzioni elementari, ma può essere espressa come una serie di potenze:

$E=M+\sin (M)\epsilon +\frac{1}{2}\sin (2M){\epsilon }^2+(\frac{3}{8}\sin (3M)-\frac{1}{8}\sin (M)){\epsilon }^3+\cdots$

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori dell'eccentricità ma diverge per ogni valore di $M$ diverso da un multiplo di $\pi$ se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da $M$: questo valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

Il valore si ottiene come soluzione dell'equazione:

$\frac{x\exp (\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1.$

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