Completezza (statistica)

In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffé.

Definizione

Data una misura di probabilità $P_{\underset{\_}{X}}(x)$ avente legge di probabilità:

$P_{\underset{\_}{X}}=\{{P_{\underset{\_}{X}}}^{\underset{\_}{\theta }};\underset{\_}{\theta }\in \mathrm{H}\subset {ℝ}^m\}$

Diremo che il vettore $\underset{\_}{X}$ è completo rispetto al parametro $\underset{\_}{\theta }$ se $\mathrm{\forall }g$ funzione misurabile e $\mathrm{\forall }\underset{\_}{\theta }\in H$ si ha che se:

${\mathrm{E}}_{\theta }[g(\underset{\_}{X})]=0$ implica che $g(\underset{\_}{X})=0$ quasi certamente, ovvero $Pro{b}_{\theta }(g(\underset{\_}{X})=0)=1$

Esempio

Sia $X\in (0,+\mathrm{\infty })$ con $X\sim U(0,\theta )$ la distribuzione continua uniforme e $\theta \in (0,+\mathrm{\infty })$

Data $g$ una funzione misurabile ho che:

$E_{\theta }[g(X)]=0\mathrm{\forall }\theta \in H$ implica:

$\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{g(X)}{\theta }dx=0$

Perciò semplificando ottengo:

$\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}g(X)dx=0$

Da cui:

$\partial \theta \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}g(X)dx=0$

E per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

$g(\theta )=0\mathrm{\forall }\theta \in (0,+\mathrm{\infty })$

Perciò $g(X)=0$ quasi certamente

Proprietà

Data una statistica $T(\underset{\_}{X})$ ed una biezione $\varphi$ indipendente da $\theta$ allora $\varphi \circ T(\underset{\_}{X})$ è anch'essa una statistica completa per $\theta$

Famiglia esponenziale

Date variabili aleatorie $X_1,...X_n$ indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita $f(x,\theta )$ la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro $\theta \in H$ se può essere scritta in questo modo:

$f(x,\theta )=C(\theta )e^{Q(\theta )T(x)}h(x)$

Con $C(\theta )>0h(x)>0$ e con supporto indipendente da $\theta$

Se vale tale proprietà allora:

$T(X)$ e $\sum _{i=1}^{n}T(X_i)$ sono variabili aleatorie complete se $H$ contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-Scheffé

Dato un campione aleatorio $X_1,...,X_n$ indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro $\theta \in H\subset R$

Data una statistica $T(X)$ che è sufficiente e completa per $\theta$ e dato uno stimatore del parametro $\theta$:

$V(T(x))$ che è non distorto $\mathrm{\forall }\theta \in H$

Allora $V(T(X))$ è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di $\theta$

Bibliografia

• Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlate

• Bias (statistica)
• Consistenza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Stimatore
• Teorema di Rao-Blackwell