Funzione implicita

In matematica, una funzione implicita è una funzione definita attraverso un'equazione implicita, ovvero da una relazione della forma $R(x_1,\dots ,x_n)=0$, dove $R$ è una funzione di diverse variabili (spesso si tratta di un polinomio). Ad esempio, l'equazione implicita della circonferenza unitaria è $x^2+y^2-1=0$.

Le funzioni implicite associano una variabile dell'equazione alle altre variabili, e in questo modo l'equazione definisce "implicitamente" la funzione implicita. Per esempio la funzione implicita per la circonferenza unitaria è caratterizzata con:

$x^2+[f(x){]}^2-1=0$

che definisce $f$ come una funzione di $x$ se e solo se $-1\le x\le 1$ e si considerano soltanto valori della funzione positivi (o soltanto negativi). Un altro classico esempio di funzione implicita è la funzione inversa, data dall'equazione $R(x,y)=x-f(y)=0$, che ha per soluzione:

$y=f^{-1}(x)$

Il teorema delle funzioni implicite fornisce le condizioni per cui un'equazione definisce una funzione implicita.

Esempi

Prendiamo come altro esempio la sfera definita in $R^3$. La sua equazione in forma parametrica sarà:

$\{\begin{array}{c}x=Rsin\varphi cos\theta \\ y=Rsin\varphi sin\theta \\ z=Rcos\varphi \end{array}$

Possiamo notare che la parametrizzazione, pur essendo di una sfera nello spazio di 3 variabili, sia dipendente soltanto da 2 parametri ($\theta$ e $\varphi$).

Analogamente, la sua forma implicita sarà definita dalla seguente equazione:

$x^2+y^2+z^2-R^2=0$

quindi, tramite un'equazione in 3 variabili.

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema delle funzioni implicite

Collegamenti esterni

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