Formula di Laguerre

La formula di Laguerre (prende il nome da Edmond Laguerre) esprime l'angolo acuto $\varphi$ tra due rette reali proprie.

$\varphi =|\frac{i}{2}\mathrm{Log}\mathrm{Cr}(I_1,I_2,P_1,P_2)|$

Significato dei simboli:

• $\mathrm{Log}$ è il logaritmo principale
• $\mathrm{Cr}$ è il birapporto di quattro punti allineati
• $P_1$ e $P_2$ sono i punti all'infinito delle due rette
• $I_1$ e $I_2$ sono le intersezioni del cerchio assoluto, di equazioni $x_0=x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$, con la retta congiungente $P_1$ e $P_2$.

L'espressione dentro le barre di modulo è un numero reale.

La formula di Laguerre trova applicazione in computer vision, visto che il cerchio assoluto ha un'immagine sul piano retinale che è invariante per movimenti della camera, e il birapporto di quattro punti allineati è uguale al birapporto delle loro immagini sul piano retinale.

Dimostrazione

È lecito supporre che le due rette siano per l'origine. Siccome il cerchio assoluto è invariante per isometrie, si può anche supporre che la prima retta sia l'asse x e che la seconda retta giaccia nel piano z=0. Le coordinate omogenee dei quattro punti nella formula sono rispettivamente

$(0,1,i,0),(0,1,-i,0),(0,1,0,0),(0,\cos \varphi ,\pm \sin \varphi ,0).$

Le loro coordinate non omogenee sulla retta impropria del piano z=0 sono $i$, $-i$, 0, $\pm \sin \varphi /\cos \varphi$. (L'eventuale scambio di $I_1$ e $I_2$ trasforma il birapporto nel suo reciproco, quindi la formula per $\varphi$ dà il medesimo risultato.) Dalla formula del birapporto si ottiene

$\mathrm{Cr}(I_1,I_2,P_1,P_2)=-\frac{-i\cos \varphi \pm \sin \varphi }{i\cos \varphi \pm \sin \varphi }=e^{\pm 2i\varphi }.$

Bibliografia

• O. Faugeras. Three-dimensional computer vision. MIT Press, Cambridge, London, 1999.