Disuguaglianza di Hardy-Littlewood

In matematica, la disuguaglianza di Hardy-Littlewood, il cui nome si deve a G. H. Hardy e John Edensor Littlewood, stabilisce che se $f$ e $g$ sono funzioni misurabili reali e non-negative che si annullano all'infinito, e se sono definite sullo spazio euclideo ${ℝ}^n$, allora:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(x)dx\le \underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}(x)g^{*}(x)dx$

dove $f^{*}$ e $g^{*}$ sono i riordinamenti simmetrici decrescenti di $f$ e $g$ rispettivamente.

Dimostrazione

Il teorema di rappresentazione della torta a strati di una funzione misurabile reale non-negativa $f$ definita su ${ℝ}^n$ è la relazione:

$f(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{L(f,t)}(x)\mathrm{d}t\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n$

dove ${\chi }_{L(f,t)}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme di livello $L(f,t)=\{y\in {ℝ}^n:f(y)\ge t\}$. Questa rappresentazione segue dal fatto che:

$1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}(t)$

e quindi utilizzando la formula:

$f(x)=\underset{0}{\overset{f(x)}{\int }}\mathrm{d}t$

Grazie a tale rappresentazione si può scrivere:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{f(x)>r}drg(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{g(x)>s}ds$

dove ${\chi }_{f(x)>r}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme $E_f$ dato da:

$E_f=\{x\in X:f(x)>r\}$

Analogamente, ${\chi }_{g(x)>s}$ denota la funzione indicatrice dell'insieme $E_f$ dato da:

$E_g=\{x\in X:g(x)>s\}$

Si ha dunque:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(x)dx=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{f(x)>r}{\chi }_{g(x)>s}drdsdx$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{f(x)>r\cap g(x)>s}dxdrds$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu (\{f(x)>r\}\cap \{g(x)>s\})drds$

$\le \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\min (\mu (f(x)>r);\mu (g(x)>s))drds$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\min (\mu (f^{*}(x)>r);\mu (g^{*}(x)>s))drds$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu (\{f^{\ast }(x)>r\}\cap \{g^{\ast }(x)>s\})drds$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}(x)g^{*}(x)dx$

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di riarrangiamento
• Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma
• Funzione misurabile
• Riordinamento radiale
• Spazio di Lorentz

Collegamenti esterni

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