Teorema di Cauchy-Hadamard

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Cauchy-Hadamard o formula di Cauchy-Hadamard, il cui nome è dovuto a Augustin-Louis Cauchy e Jacques Hadamard, descrive il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Fu pubblicato nel 1821 da Cauchy, ma rimase relativamente sconosciuto fino a quando Hadamard lo riscoprì. La prima pubblicazione di Hadamard del teorema risale al 1888.

Il teorema

Data una serie formale di potenze in una variabile complessa $z$ della forma:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

con $a,c_n\in ℂ$, il raggio di convergenza di $f$ nel punto $a$ è dato da:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(|c_n{|}^{1/n})$

dove $\mathrm{lim\; sup}$ denota il limite superiore, cioè il limite dell'estremo superiore dei valori della successione dopo la posizione n-esima per n che tende a infinito. Se i termini della successione sono illimitati in modo che il limite superiore è ∞, allora la serie di potenze non converge vicino ad $a$, mentre se il limite superiore è 0 allora il raggio di convergenza è ∞, ovvero la serie converge in tutto il piano complesso.

Dimostrazione

Si assuma senza perdita di generalità che $a=0$. Si vuole mostrare che la serie di potenze $\sum c_n{z}^n$ converge per $|z|<R$ e diverge per $|z|>R$.

Sia $|z|<R$ e $t=1/R$ diverso da zero e infinito. Per ogni $ϵ>0$ esiste solo un numero finito di $n$ tale che:

$\sqrt[n]{|c_n|}\ge t+ϵ$

Si ha che $|c_n|\le (t+ϵ{)}^n$ per tutti i $c_n$ eccetto un numero finito di essi: quindi la serie $\sum c_n{z}^n$ converge se $|z|<1/(t+ϵ)$.

D'altra parte, per $ϵ>0$ si ha $|c_n|\ge (t-ϵ{)}^n$ per infiniti $c_n$, in modo che se:

$|z|=1/(t-ϵ)>R$

si nota che la serie non può convergere in quanto il suo n-esimo termine non tende a 0. Il caso in cui $t$ è zero o infinito segue con facilità.

Caso di più variabili complesse

Sia $\alpha$ un multi-indice (una n-upla di interi), con $|\alpha |={\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n$. Allora $f(x)$ converge con raggio di convergenza $\rho$ (che è un multi-indice) alla serie di potenze:

$\sum _{\alpha \ge 0}{c}_{\alpha }(z-a{)}^{\alpha }:=\sum _{{\alpha }_1\ge 0,\dots ,{\alpha }_n\ge 0}{c}_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n}(z_1-a_1{)}^{{\alpha }_1}\dots (z_n-a_n{)}^{{\alpha }_n}$

se e soltanto se:

$\underset{|\alpha |\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[|\alpha |]{|c_{\alpha }|{\rho }^{\alpha }}=1$

Una dimostrazione può essere trovata in Introduction to Complex Analysis Part II - Functions in several Variables di B.V.Shabat.

Bibliografia

• Template:En L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables , North-Holland (1973) pp. Chapt. 2.4

Voci correlate

• Raggio di convergenza
• Serie (matematica)
• Serie di potenze
• Serie formale di potenze

Collegamenti esterni

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