Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo $S$ è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene $S$. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

Definizione

Costruzione esplicita

Sia $(S,+)$ un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano $S\times S$ definiamo la relazione di equivalenza

$(s_1,s_2)\sim (t_1,t_2)\iff \mathrm{\exists }r\in S:s_1+t_2+r=s_2+t_1+r$;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

$(s_1,s_2)+(t_1,t_2):=(s_1+t_1,s_2+t_2)\mathrm{\forall }(s_1,s_2),(t_1,t_2)\in S\times S$

che è compatibile con $\sim$.

Il gruppo di Grothendieck di $S$ è l'insieme quoziente $K(S):=S\times S/\sim$; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie $(s,s)$, mentre l'inverso della classe $[(s_1,s_2)]$ è la classe $[(s_2,s_1)]$.

Proprietà universale

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo $S$, il Grothendieck è un gruppo $K$ (insieme con un monomorfismo di semigruppi $i:S⟶K$ tale che, per ogni omomorfismo $f:S⟶A$ (dove $A$ è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi $g:K⟶A$ tale che $f=g\circ i$.

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di $S$, allora conterrà anche un'immagine omomorfa di $K$.

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se $K^{\prime }$ è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra $K$ e $K^{\prime }$.

In termini di teoria delle categorie, questa costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

Esempi

• Se $(T,+)$ è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo $(S,+)$ allora $K(T,+)$ è un sottogruppo del gruppo commutativo $K(S,+)$.

• Se $(G,+)$ è un gruppo commutativo allora $K(G)$ coincide con $G$; più precisamente, le mappe $\varphi (g)=[(g,0)]$ e $\psi ([(g,h)])=g-h$ sono isomorfismi tra $G$ e $K(G)$

• Se $(\mathbb{N},+)$ è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora $K(\mathbb{N},+)$ è isomorfo al gruppo dei numeri interi $(\mathbb{Z},+)$.

• Se $({\mathbb{Z}}_0,\times )$ è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora $K({\mathbb{Z}}_0,\times )\cong ({\mathbb{Q}}_0,\times )$.

Voci correlate

• Campo dei quozienti

Collegamenti esterni

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