Raggio di Bohr

Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno, il raggio di Bohr (spesso indicato con il simbolo $a_0$) è il raggio dell'orbita più interna, nello stato fondamentale dell'atomo, pari a:

$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=\frac{\hslash }{m_{e}c\alpha }$

dove:

• ${\epsilon }_0$ è la permittività elettrica del vuoto,
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ la costante di Planck ridotta o costante di Dirac,
• $m_e$ la massa dell'elettrone,
• $e$ la carica dell'elettrone,
• $\alpha$ la costante di struttura fine.

In accordo con i valori CODATA del 2010, il raggio di Bohr vale $5,291777721092\cdot 10^{-11}$ m (0,53 Å, dove Å sta per Ångström).

Il raggio di Bohr viene spesso utilizzato come unità di lunghezza in fisica atomica, nel sistema denominato "Unità atomiche".

Deduzione dal modello di Bohr

Bohr, per ricavare i raggi delle orbite dell'elettrone, fece l'ipotesi che il momento angolare dell'elettrone fosse quantizzato:

$L=m_{e}vr=\hslash n(n\in \mathbb{N})$ e quindi:

$v^2=\frac{{\hslash }^2{n}^2}{m_e^2{r}^2}$.

Da questa ipotesi, eguagliando l'espressione della forza centripeta con l'attrazione coulombiana elettrone-nucleo si ricava:

$\frac{m_e{v}^2}{r}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{r^2}$

semplificando e sostituendo l'espressione per $v^2$ trovata sopra:

$\frac{{\hslash }^2{n}^2}{m_{e}r}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0}$

e infine:

$r=\frac{4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}{n}^2$

che per n=1 (stato fondamentale) riproduce il risultato aspettato.

Interpretazione quantistica

Template:Vedi anche In meccanica quantistica la visione dell'elettrone su orbite rigide cade e si parla più propriamente di una densità di probabilità per la posizione dell'elettrone nello spazio.

Un'interpretazione del raggio di Bohr può essere data dal reciproco del valor medio di $r^{-1}$, ovvero in formule:

$a_0={(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{-1}{\rho }_{10}(r)dr)}^{-1}$, dove ${\rho }_{10}(r)$ è la densità di probabilità radiale dello stato fondamentale che vale: ${\rho }_{10}(r)=4r^2{a}_0^{-3}{e}^{-\frac{2r}{a_0}}$. Questa funzione, inoltre, ha un massimo proprio in $a_0$.

Bibliografia

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• Luigi E. Picasso, Lezioni di Meccanica Quantistica (seconda edizione), Edizioni ETS, 2015, ISBN 88-467-4310-7