Icosaedro rombico

Template:Poliedro In geometria l'icosaedro rombico, [Pltp.22.40.20], detto anche icosaedro d'oro, per la particolare caratteristica delle facce, è un poliedro convesso, ordinario, equilatero, equiedro, non inscrittibile alla sfera, a forma ellissoidale di rotazione, le cui facce sono dei rombi congruenti.

L'icosaedro rombico corrisponde al 5-zonoedro e, come il romboedro (che comprende il cubo) e il dodecaedro rombico, fanno parte della classe dei poliedri rombici (insieme al triacontaedro rombico).

L'icosaedro rombico è stato definito e studiato, nel 1885, dal matematico russo E. S. Fedorov (1853–1919).

Caratteristiche

• L'icosaedro rombico è interposto in un fascio di sei piani paralleli, ${\pi }_0$, ${\pi }_1$, ${\pi }_2$, ${\pi }_3$, ${\pi }_4$, ${\pi }_5$, equidistanti tra loro, perpendicolari all'asse $G$ del poliedro.
  • I piani ${\pi }_0$ e ${\pi }_5$ intercettano, ciascuno, un vertice del poliedro.
  • I piani ${\pi }_1$ e ${\pi }_4$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato $d$.
  • I piani ${\pi }_2$ e ${\pi }_3$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato $D$.
• L'icosaedro rombico stesso è inserito (parzialmente inscritto) in un ellissoide di rotazione di semiassi $a$, $b$, $c=b$, il cui asse di rotazione è l'asse $G$ del poliedro.
  • Appartengono all'ellissoide soltanto i dodici vertici del poliedro intercettati dai piani ${\pi }_0$, ${\pi }_2$, ${\pi }_3$ e ${\pi }_5$, mentre i dieci vertici intercettati dai piani ${\pi }_1$ e ${\pi }_4$ rimangono interni all'ellissoide, leggermente scosati dalla superficie di questo.
• Dualità: l'icosaedro rombico in contesto è duale del poliedro pentatriromboedro ellissoidale, che, nella terminologia generale, potrebbe denominarsi antiprisma tritrapezoide pentagonale, avente cioè, per facce: 2 pentagoni regolari, 10 trapezoidi, che nel caso specifico sono rombi, e 10 triangoli isosceli che, nel caso specifico, sono triangoli equilateri (all'antiprisma tritrapezoide triangolare corrisponderebbe l'ottaedro, mentre all'antiprisma tritrapezoide quadrangolare corrisponderebbe il cubottaedro).

Pertinenze dimensionali

Le diagonali $D$ e $d$ di ciascuna faccia sono in rapporto aureo, vale cioè la relazione:

$\frac{D}{d}=\frac{d}{D-d},$

da cui

$d=\frac{D}{2}(\sqrt{5}-1),$

oppure

$D=\frac{d}{2}(\sqrt{5}+1).$

A tale determinazione si perviene mediante laboriosi calcoli algebrici, trigonometrici e di geometria analitica, che forniscono le seguenti dimensioni:

• Lunghezza del lato della faccia: $L$.
• Numero lati del poligono di riferimento: 5.
• Lunghezza diagonale maggiore della faccia:

$D=\frac{L}{5}\sqrt{50+10\sqrt{5}}.$

• Lunghezza diagonale minore della faccia:

$d=\frac{L}{5}\sqrt{50-10\sqrt{5}}.$

• Ampiezza angoli $\alpha$ e $\beta$ della faccia:

$\arcsin (\alpha /2)=d/2,\arcsin (\beta /2)=D/2,$

dalle quali:

$\alpha \approx 63,42^{\circ }\approx 63^{\circ }25^{\prime },\beta \approx 116,58^{\circ }\approx 116^{\circ }35^{\prime }.$

• Distanza fra i piani del fascio:

$H=\frac{L}{5}\sqrt{5}.$

• Lunghezza dell'asse del poliedro:

$G=5H=L\sqrt{5}.$

• Equazione dell'ellissoide di rotazione:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

dove

$a=\frac{L}{2}\sqrt{5},$

$b=c=\frac{L\sqrt{3}}{6}(5+3\sqrt{5}).$

• Indice di deformazione (o di schiacciamento essendo minore di 1):

$g=\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\sqrt{9-3\sqrt{5}}\approx 0,75694.$

Modello

La costruzione, sia del modello in cartoncino o altro materiale (gesso, argilla, ecc.), che del modello in filo metallico dello scheletro essenziale (vertici e spigoli) del poliedro, non presenta particolari difficoltà.

Scheletro dell'icosaedro rombico

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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