Ellissoide astroidale

L'ellissoide astroidale è una figura geometrica definita dalla seguente equazione parametrica:

$x=a{(\cos \varphi \cos \theta )}^3$

$y=b{(\sin \varphi \cos \theta )}^3$

$z=c{(\sin \theta )}^3$

con $-\pi /2\le \varphi <\pi /2\text{,}-\pi \le \theta <\pi \text{,}a,b,c\in R^{+}$.

Invece, l'equazione cartesiana è:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^{2/3}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{2/3}+{\left(\frac{z}{c}\right)}^{2/3}=1$,

Nell'imagine seguente sono rappresentati tre ellissoidi astroidali. Notiamo che il caso in cui a=b=c corrisponde al caso dell'ottaedro iperbolico.

• Esempi di ellissoidi astroidali
• 
  a=1, b=1, c=1 questo è un caso particolare che coincide con l'ottaedro iperbolico
• 
  a=2, b=1, c=1
• 
  a=1, b=2, c=2

Curvatura

La curvatura gaussiana dell'ellissoide astroidale è:

$K=\frac{a^2{b}^2{c}^2{\sec }^4\theta }{9{(a^2{b}^2{\cos }^2\theta {\sin }^2\varphi {\cos }^6\varphi +2a^2{b}^2{\cos }^2\theta {\sin }^4\varphi {\cos }^4\varphi +a^2(b^2{\cos }^2\theta {\sin }^6\varphi +c^2{\sin }^2\theta ){\cos }^2\varphi +b^2{c}^2{\sin }^2\theta {\sin }^2\varphi )}^2}$

La curvatura media, invece è:

$H=\frac{abc{\cos }^9\theta {\cos }^2\varphi {\sin }^2\theta {\sin }^2\varphi (8{\cos }^2\varphi {\sin }^2\varphi (a^2{\cos }^2\varphi +b^2{\sin }^2\varphi ){\cos }^4\theta +(4(a^2-b^2)\cos (2\varphi )+(a^2+b^2)(\cos (4\varphi )+3)){\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +8c^2{\sin }^4\theta )}{48{\left({\cos }^8\theta {\cos }^2\varphi {\sin }^2\theta {\sin }^2\varphi (a^2{b}^2{\cos }^2\theta {\sin }^2\varphi {\cos }^6\varphi +2a^2{b}^2{\cos }^2\theta {\sin }^4\varphi {\cos }^4\varphi +a^2(b^2{\cos }^2\theta {\sin }^6\varphi +c^2{\sin }^2\theta ){\cos }^2\varphi +b^2{c}^2{\sin }^2\theta {\sin }^2\varphi )\right)}^{3/2}}$

Voci correlate

• Ottaedro iperbolico
• Astroide