Funzione eta di Dirichlet

Per ogni $s$ con $\mathrm{\Re }(s)>0$ la funzione eta di Dirichlet si definisce come:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\cdots$

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni $s\in ℂ$

Correlazione con la funzione zeta di Riemann

Template:Approfondimento Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

Poiché la funzione eta converge per ogni $\mathrm{\Re }(s)>0$ mentre la funzione zeta solo per $\mathrm{\Re }(s)>1$ la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

Relazione di riflessione

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

$\eta (-s)=-(2^{\frac{s}{2}-1}csch(\frac{sln(2)}{2})+1){\pi }^{-s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s+1)\eta (s+1).$

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

Valori particolari

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

$\eta (1)=\ln 2$, ossia la serie armonica a segni alterni

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}$

$\eta (12)=\frac{61499{\pi }^{12}}{56855407305}$

Più in generale per ogni valore pari di s:

$\eta (2s)=\frac{B_{2s}{\pi }^{2s}(4^s-1)}{(2s!)}$

Dove $B_s$ sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

$\eta (0)=1-1+1-1+1-\cdots =\frac{1}{2}$

$\eta (-1)=1-2+3-4+5-\cdots =\frac{1}{4}$

Generalizzando per ogni s minore di uno

$\eta (1-k)=\frac{2^k-1}{k}{B}_k.$

Bibliografia

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Template:Cita libro
• John Derbyshire. L'ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica. Torino, Bollati Boringhieri, 2006. ISBN 88-339-1706-1.

Voci correlate

• Funzione zeta di Riemann
• Serie di Mercator
• Serie armonica a segni alterni

Collegamenti esterni

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