Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Successioni di numeri reali

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se $\{s_n\}$ è una successione monotona di numeri reali, allora la successione converge se e solo se è limitata.

La dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora essa è limitata, viene dal fatto che ogni successione convergente è limitata (i dettagli della dimostrazione sono indicati qui).

L'implicazione inversa, cioè che se una successione monotona è limitata allora essa converge, si dimostra nel modo seguente: prendiamo una successione monotona crescente (nel caso di successioni decrescenti la dimostrazione è analoga) e chiamiamo $I$ l'immagine della successione $\{s_n\}$ . La limitatezza fa sì che esista finito un elemento

$s=\sup I$

tale che per ogni elemento della successione vale $s_n\le s$. Scelto un $\epsilon >0$ arbitrario, esiste un indice $N>0$ tale che

$s-\epsilon <s_N\le s$

perché $s-\epsilon$ non è maggiorante di $I$. Se quindi scegliamo un indice $n\ge N$, la monotonia della successione implica $s_n\ge s_N$ e quindi vale

$s-\epsilon <s_n\le s.$

Dall'arbitrarietà di $\epsilon$ segue la convergenza di $\{s_n\}$ a $s$.

Serie di numeri

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero $a_{j,k}$ è reale e non negativo e $a_{j,k}\le a_{j+1,k}$, allora:

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _k{a}_{j,k}=\sum _k\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{j,k}$

Successioni di funzioni

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ è uno spazio di misura e $\{f_n\}$ una successione di funzioni misurabili su $\mathrm{\Sigma }$ tale che:

$0\le f_1(x)\le f_2(x)\le \dots \le \mathrm{\infty }\mathrm{\forall }x\in X$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in X$

allora $f$ è misurabile in $\mathrm{\Sigma }$ e:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }fd\mu$

dove l'integrale è di Lebesgue. Si noti che il valore di ogni integrale può essere infinito.

Dimostrazione

Sia $\{f_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:

$f=\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }{f}_k$

Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:

$\int fd\mu \ge \underset{k}{\lim }\int f_{k}d\mu$

Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:

$\int fd\mu \le \underset{k}{\lim }\int f_{k}d\mu$

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente $g_n$ di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a $f$ quasi ovunque e tali che:

$\underset{k}{\lim }\int g_{k}d\mu =\int fd\mu$

Perciò basta provare che per ogni $k\in \mathbb{N}$ si ha:

$\int g_{k}d\mu \le \underset{j}{\lim }\int f_{j}d\mu$

Si vuole provare che se $g$ è una funzione semplice e:

$\underset{j}{\lim }{f}_j(x)\ge g(x)$

quasi ovunque, allora:

$\underset{j}{\lim }\int f_{j}d\mu \ge \int gd\mu$

Spezzando la funzione $g$ nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui $g$ è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che $A$ sia un insieme misurabile e $\{f_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su $A$ tali che:

$\underset{n}{\lim }{f}_n(x)\ge 1$

per quasi tutti gli $x\in A$. Allora:

$\underset{n}{\lim }\int f_{n}d\mu \ge \mu (A)$

Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:

$B_n=\{x\in A:f_n(x)\ge 1-\epsilon \}$

Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha:

$\mu (B_n)(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_n}d\mu \le \int f_{n}d\mu$

Per ipotesi:

$\bigcup _i{B}_i=A$

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di $\mu$ :

$\mu (A)=\underset{n}{\lim }\mu (B_n)\le \underset{n}{\lim }(1-\epsilon {)}^{-1}\int f_{n}d\mu$

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.

Bibliografia

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Teorema della convergenza dominata
• Lemma di Fatou

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni