Formula prodotto di Eulero

La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

dove $\zeta (s)$ è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann.

Dimostrazioni

Prima Dimostrazione

Partiamo dalla funzione zeta:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$

se moltiplichiamo entrambi i termini per $\frac{1}{2^s}$ abbiamo che:

$\frac{1}{2^s}\zeta (s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\cdots$

Sottraendo la seconda espressione dalla prima:

$(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\cdots$

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto si ottiene:

$\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\cdots$

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:

$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\cdots$

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

$(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\cdots$

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

$\cdots (1-\frac{1}{11^s})(1-\frac{1}{7^s})(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1$

E in conclusione:

$\zeta (s)=\frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})}\frac{1}{(1-\frac{1}{3^s})}\frac{1}{(1-\frac{1}{5^s})}\frac{1}{(1-\frac{1}{7^s})}\cdots =\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$

Q.E.D

Seconda Dimostrazione

si può considerare il termine

$\frac{1}{1-p^{-s}}$

come il numero a cui converge la serie geometrica

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(p^s{)}^n}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\frac{1}{p^{4s}}+\cdots =\frac{1}{1-p^{-s}}$

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

$\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{2^{2s}}+\frac{1}{2^{3s}}+\cdots )(1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{3^{2s}}+\frac{1}{3^{3s}}+\cdots )(1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{5^{2s}}+\frac{1}{5^{3s}}+\cdots )\cdots$

E svolgendolo

$\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=(1+\frac{1}{(1\cdot 2{)}^s}+\frac{1}{(1\cdot 3{)}^s}+\frac{1}{(1\cdot 5{)}^s}+\cdots )+(\frac{1}{(1\cdot 2^2{)}^s}+\frac{1}{(1\cdot 3^2{)}^s}+\frac{1}{(1\cdot 5^2{)}^s}+\cdots )+\cdots$

$+(\frac{1}{(2\cdot 3{)}^s}+\frac{1}{(2\cdot 5{)}^s}+\frac{1}{(2\cdot 7{)}^s}+\cdots )+(\frac{1}{(2^2\cdot 3^2{)}^s}+\frac{1}{(2^2\cdot 5^2{)}^s}+\frac{1}{(2^2\cdot 7^2{)}^s}+\cdots )+\cdots$

$+(\frac{1}{(3\cdot 5{)}^s}+\frac{1}{(3\cdot 7{)}^s}+\frac{1}{(3\cdot 11{)}^s}+\cdots )+(+\frac{1}{(3^2\cdot 5^2{)}^s}+\frac{1}{(3^2\cdot 7^2{)}^s}+\frac{1}{(3^2\cdot 11^2{)}^s}+\cdots )+\cdots$

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

$\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$

Quindi:

$\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Q.E.D

Infiniti numeri primi

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}$

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Generalizzazione

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

$\sum _n\frac{a(n)}{n^s}=\prod _{p}P(p,s)$

Dove P(p,s) è la serie:

$1+a(p)p^{-s}+a(p^2)p^{-2s}+\cdots .$

Esempi

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius $\mu (n)$ :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)n^{-s}=\prod _p(1-p^{-s})=\frac{1}{\zeta (s)}$.

E quello per il suo valore assoluto:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|\mu (n)|n^{-s}=\prod _p(1+p^{-s})=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$.

Il prodotto per la funzione di Liouville:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)n^{-s}=\prod _p(1+p^{-s}{)}^{-1}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}$.

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{\omega (n)}{n}^{-s}=\prod _p\left(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\right)=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}$

Dove $\omega (n)$ è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sigma (n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-1)$

dove $\sigma (n)$ è la somma di tutti i divisori di $n$ ($1$ e $n$ compresi).

Bibliografia

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• John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

Voci correlate

• Funzione zeta di Riemann
• Eulero

Collegamenti esterni

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