Successive Over Relaxation

Template:S In analisi numerica, il metodo Successive Over Relaxation, comunemente detto SOR o metodo del sovrarilassamento, è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, variante del metodo di Gauss-Seidel. Fu introdotta dal matematico statunitense David M. Young nel 1950.

Definizione

Indicando con $x_{gs}^{(k)}$ l'approssimazione della soluzione ottenuta dal metodo di Gauss-Seidel al k-esimo passo di iterazione, il metodo SOR viene definito come:

$x^{(k+1)}=\omega x_{gs}^{(k+1)}+(1-\omega )x^{(k)}$

dove $\omega$ è detto parametro di rilassamento.

Più esplicitamente:

$x_i^{(k+1)}=x_i^k+\omega r_i^k$

dove r indica la correzione necessaria a $x^k$ per ottenere $x^{k+1}$ e viene calcolata come:

$r_i^k=1/a_{ii}[b_i-\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{x}_j^{k+1}-\sum _{j=i}^n{a}_{ij}{x}_j^k]$

Quando $\omega =1$ il metodo SOR coincide con il metodo di Gauss-Seidel.

Condizioni di convergenza

Si dimostra che condizione necessaria affinché tale metodo converga è che $0<\omega <2$, e che tale condizione è sufficiente se la matrice $A$ cui è applicato il metodo è diagonalmente dominante in senso stretto.

Voci correlate

• Metodo di Gauss-Seidel

Collegamenti esterni

• Template:Cita web* (1950)
• D. R. Kincaid Celebrating Fifty Years of David M. Young's Successive Overrelaxation Method