Radiante

File:Radian measure.svg

Un angolo misurato in radianti

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.

Definizione di radiante

File:Circle radians.gif

Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio intero corrisponde a un angolo di 2π radianti.

File:Radian-common.svg

Alcuni angoli misurati in radianti

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano $l$ la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, $r$ quella del raggio della circonferenza, $c$ quella della circonferenza e $\alpha$ l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto $l/r$ non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:

${\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{l}{r};$

$l=r\cdot {\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}.$

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza $c$ pari a $2\pi r$ e il raggio lungo $r$, l'angolo di un cerchio equivale a $2\pi$.

$\alpha =\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

$c=2\pi r,$

si può scrivere la seguente proporzione:

$\frac{{\alpha }^{(\circ )}}{l}=\frac{360^{\circ }}{2\pi r},$

$\alpha$ risulta funzione di $l$:

${\alpha }^{(\circ )}=f\left(l\right),$

ossia

${\alpha }^{(\circ )}(l)=\frac{360^{\circ }\cdot l}{2\pi r},$

da cui

${\alpha }^{(\circ )}(l)=\frac{l}{r}\cdot \frac{360^{\circ }}{2\pi }.$

Dunque, ponendo $l=r$, dall'equazione precedente si ottiene:

${\alpha }^{(\circ )}(l=r)=\frac{360^{\circ }}{2\pi }\approx 57,29578^{\circ }\approx 57^{\circ }17^{\prime }44,8^{″}=1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

$360^{\circ }=\frac{2\pi }{2\pi }\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot \frac{360^{\circ }}{2\pi }=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}$

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

$\frac{{\alpha }^{(\circ )}}{{\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}=\frac{360^{\circ }}{2\pi }$

${\alpha }^{(\circ )}=\frac{360^{\circ }}{2\pi }\cdot {\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$

${\alpha }^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{2\pi }{360^{\circ }}\cdot {\alpha }^{(\circ )}.$

Utilità della scelta del radiante

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.

Conversione gradi-radianti

File:Degree-Radian Conversion it.svg

Schema per la conversione gradi-radianti

Un radiante è pari a $180/\pi$ gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per $180/\pi$:

${\alpha }^{(\circ )}={\alpha }^{(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$

Ad esempio:

$1\text{ rad}=1\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,2958^{\circ };$

$2,5\text{ rad}=2,5\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 143,2394^{\circ };$

$\frac{\pi }{3}\text{ rad}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=60^{\circ }.$

Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:

${\alpha }^{(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})}={\alpha }^{(\circ )}\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}.$

Ad esempio:

$1^{\circ }=1\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,0175\text{ rad};$

$23^{\circ }=23\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0,4014\text{ rad}.$

Gradi Radianti 0 0 15 π /12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π /2 120 2/3 π 135 3/4 π 150 5/6 π

Gradi Radianti 180 π 210 7/6 π 225 5/4 π 240 4/3 π 270 3/2 π 300 5/3 π 315 7/4 π 330 11/6 π 360 2π

Si ha quindi:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;

1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;

1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;

1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.

Bibliografia

• G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6

Voci correlate

• Grado d'arco
• Grado centesimale
• Angolo
• Pi greco
• Steradiante
• millesimo di radiante

Collegamenti esterni

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