Azione di gruppo

In algebra, unTemplate:'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Definizione

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

$G\times A⟶A$

$(g,a)\mapsto g\cdot a,$

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

• $1_G\cdot a=a\mathrm{\forall }a\in A;$
• $g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\mathrm{\forall }g,h\in G,a\in A.$

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.

Orbite

Data la relazione di equivalenza $\sim$ su $A$

$x,y\in A,x\sim y\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{\exists }g\in G\mathrm{t}\mathrm{.}\mathrm{c}\mathrm{.}y=g\cdot x$

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di $A$. L'orbita contenente l'elemento $x$ è data da

$O(x)=\{g\cdot x\mid g\in G\}.$

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Numero di orbite

Se il gruppo finito $G$ agisce sull'insieme finito $A$, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|\text{fix}(g)|$

dove

$\text{fix}(g)=\{a\in A:g\cdot a=a\}$

è l'insieme degli elementi di $A$ che sono lasciati fissi dall'elemento $g$ di $G$.

Sistemi dinamici

Template:Vedi anche Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo $\alpha :G\to \text{aut}(A)$ che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

Stabilizzatore

Dato un punto $x$ in $A$, si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$:

$G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.$

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita $O_x$ di un elemento $x$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore $G_x$ in $G$. Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di $G$:

$|G|=|O_x|\cdot |G_x|.$

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

$M=\{g{G}_x{\}}_{x\in X,g\in G}$

e l'orbita $O(x)$ è data da:

$O(x)\to M,$

$g\cdot x\mapsto g{G}_x.$

Azioni sinistre e destre

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra $A\times G\to A$ di $G$ su $A$, per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.

Definizioni ulteriori

Un'azione è banale se

$\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\forall }x\in A:g\cdot x=x.$

Un'azione è fedele se ogni elemento di $G$ sposta almeno un punto di $A$:

$\mathrm{\forall }g\in G,g\ne e,\mathrm{\exists }x\in A:g\cdot x\ne x.$

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

$\mathrm{\forall }g\in G,g\ne e,\mathrm{\forall }x\in A:g\cdot x\ne x.$

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

$\mathrm{\forall }x,y\in A,\mathrm{\exists }g\in G:y=g\cdot x.$

Un'azione è semplicemente transitiva se:

$\mathrm{\forall }x,y\in A,\mathrm{\exists }!g\in G:y=g\cdot x.$

Un punto fisso è un elemento $x$ in $A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$, ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento $\{x\}$:

$g\cdot x=x,\mathrm{\forall }g\in G.$

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.

Azioni e permutazioni

Se $\cdot$ è un'azione del gruppo $G$ sull'insieme non vuoto $X$ allora per ogni $g\in G$ la funzione ${\pi }_g:X\to X:x\mapsto g\cdot x$ è una permutazione di $X$, in effetti l'insieme $S:=\{{\pi }_g:g\in G\}$ costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di $X$. In particolare $S$ è isomorfo a $G$ se e solo se l'azione è fedele.

Esempi

• Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

$G\times G\to G,$

$(g,x)\mapsto g\cdot x.$

• Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(V)$. Allora

${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(V)\times V\to V,$

$(f,v)\mapsto f\cdot v:=f(v),$

è un'azione di ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(V)$ su $V.$

Azioni su spazi topologici

Supponiamo ora che $A$ sia uno spazio topologico. Sia $X$ lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia $p$ la proiezione naturale

$p:A\to X.$

Per definizione di topologia quoziente la mappa $p$ è una funzione continua.

Azioni e rivestimenti

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa $p$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti $H$ e $K$ di $A$ l'intersezione

$gH\cap K$

è non vuota solo per un numero finito di elementi $g$ del gruppo $G$.

Se $A$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

• $G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
• $X$ è di Hausdorff e ogni $x$ in $A$ ha un intorno aperto $U$ tale che

$gU\cap U=\mathrm{\varnothing }$

per ogni $g$ in $G$.

• $X$ è di Hausdorff e la proiezione $p:A\to X$ è un rivestimento.

Esempi

Il gruppo ${\mathbb{Z}}_2\equiv \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,1\}$ agisce sulla sfera $S^n$: si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale $ℝ{\mathbb{P}}^n$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Azione di coniugio

Collegamenti esterni

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