Prodotto interno

Template:Nota disambigua In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$, detto ${\mathrm{\Lambda }}^{p}V$ l'insieme delle $p$-forme su $V$, per ogni vettore $X\in V$ si definisce ${\iota }_X$ l'applicazione

${\iota }_X:{\mathrm{\Lambda }}^{p}V\to {\mathrm{\Lambda }}^{p-1}V$

$\omega \mapsto {\iota }_X\omega$

per cui

$({\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{p-1})$

Pertanto, il prodotto interno agisce su una $p$-forma restituendo una $(p-1)$-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

• Linearità in $\omega$
• Linearità in $X$
• Regola di Leibniz graduata: ${\iota }_X(\omega \wedge \xi )=({\iota }_X\omega )\wedge \xi +(-1{)}^p\omega \wedge {\iota }_X\xi \omega \in {\mathrm{\Lambda }}^p$
• Anticommutatività: ${\iota }_X{\iota }_Y+{\iota }_Y{\iota }_X=0$

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero ${\iota }_X^2=0$. Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado $-1$ perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro