Funzione periodica

Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Definizione

Una funzione $f:A\to B$ definita su un gruppo abeliano $A$ è periodica di periodo $t$, con $t\in A$, se $f(a+t)=f(a)$ per ogni $a\in A$.

Funzioni di variabile reale

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale $f:A\to B$ si dice periodica di periodo $t$ se esiste un numero reale $t\in ℝ$ tale che:

• il dominio $A$ è invariante per traslazione di $t$, ovvero $A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A$;
• la funzione $f$ è invariante per traslazione di $t$, ovvero per ogni $a\in A$ si ha $f(a+t)=f(a)$.

Moduli

Se $f$ è periodica di periodo $t_1$ ed è periodica di periodo $t_2$, allora è periodica di ogni periodo

$t\in t_1\mathbb{Z}+t_2\mathbb{Z}=\{m{t}_1+n{t}_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\}$.

L'insieme ${𝒯}_f$ dei periodi $t$ di $f$ è quindi uno $\mathbb{Z}$-modulo.

• Se ${𝒯}_f=\{0\}$, ovvero se $f$ ha il solo periodo $0$, allora $f$ è detta aperiodica.
• Se ${𝒯}_f$ è un modulo libero di dimensione $1$, ovvero se ${𝒯}_f=t\mathbb{Z}$ con $t>0$, ovvero se esiste un minimo tra i periodi $t>0$, allora $f$ è detta periodica di periodo minimo $t$, o periodica di periodo $t$ in senso stretto.
• Il modulo ${𝒯}_f$ non è necessariamente libero di dimensione $0$ o $1$, ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha ${𝒯}_f=\mathbb{Q}$ e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Domini limitati

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo $[0,1)$,

$\begin{array}{cc}f:[0,1[& \to ℝ\\ x& \mapsto x,\end{array}$

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

$\begin{array}{cc}\tilde{f}:ℝ& \to ℝ\\ x& \mapsto x-[x].\end{array}$

Esempi

• Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo $2\pi$.
• Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
  • $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, che hanno periodo minimo $\pi$;
  • $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ e $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$, che hanno periodo minimo $2\pi$.

Funzioni doppiamente periodiche

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé, $f:ℂ\to ℂ$;

è periodica rispetto a due periodi, ${\omega }_1,{\omega }_2\in {ℂ}^{\ast },\mathrm{\forall }z\in ℂf(z+{\omega }_1)=f(z+{\omega }_2)=f(z)$;

questi due periodi sono "incommensurabili", ${\omega }_1/{\omega }_2\in ̸ℝ.$

Voci correlate

• Periodicità
• Ampiezza
• Frequenza
• Lunghezza d'onda
• Oscillazione
• Sviluppo in serie di Fourier
• Funzione ellittica
• Periodo (teoria dei numeri)

Collegamenti esterni

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