Teorema di Huygens-Steiner

Teorema e figura

Il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

Teorema

Enunciato

Il momento d'inerzia rispetto ad un asse $a$, parallelo ad un altro $c$ passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a $c$ il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi $c$ e $a$.

$I_z=I_{cm}+m{d}^2$.

Dimostrazione

Figura per la dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano $xy$ con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse $x$ di una certa quantità, in modo che le coordinate siano $y=y^{\prime }$ e $x=x^{\prime }-d$, dove $d$ è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si consideri un elemento infinitesimo $dm$, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da $\mathrm{d}I=R^2\mathrm{d}m$. Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento ($R^2=x^2+y^2$) si ha che

$I_{cm}=\underset{\text{corpo}}{\int }(x^2+y^2)\mathrm{d}m$.

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse $z$. Si prenda dunque un elemento $dm$ e si consideri il sistema di riferimento traslato; poiché $R{\text{'}}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2$, applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

$I_z=\underset{\text{corpo}}{\int }({x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2)\mathrm{d}m=\underset{\text{corpo}}{\int }[(x+d{)}^2+y^2]\mathrm{d}m$.

Sviluppando il quadrato si ottiene $I_z=\int (x^2+d^2+2xd+y^2)\mathrm{d}m$ e, raccogliendo, si ha

$I_z=\underset{\text{corpo}}{\int }[x^2+y^2]\mathrm{d}m+d^2\underset{\text{corpo}}{\int }\mathrm{d}m+2d\underset{\text{corpo}}{\int }x\mathrm{d}m$.

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa $I_{cm}$, calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità $M{d}^2$, mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di $x$ $dm$ è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto (essendo sull'origine) è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

$I_z=I_{cm}+M{d}^2$

Generalizzazione ai tensori

Il teorema degli assi paralleli può essere generalizzato per i calcoli che coinvolgono il tensore d'inerzia. Sia I_ij il tensore d'inerzia di un corpo calcolato sul centro di massa. Allora il tensore d'inerzia J_ij calcolato relativamente al nuovo punto è

$J_{ij}=I_{ij}+m(|𝐑{|}^2{\delta }_{ij}-R_i{R}_j),$

dove $𝐑=R_1\widehat{𝐱}+R_2\widehat{𝐲}+R_3\widehat{𝐳}$ è il vettore spostamento dal centro di massa al nuovo punto e δ_ij è la delta di Kronecker.

Per gli elementi diagonali (quando i = j), gli spostamenti perpendicolari all'asse di rotazione portano alla versione semplificata del teorema come scritto di cui sopra.

La versione generalizzata del teorema di Huygens-Steiner può essere espressa nella notazione senza riferimenti a coordinate come

$𝐉=𝐈+m[(𝐑\cdot 𝐑){𝐄}_3-𝐑\otimes 𝐑],$

dove E₃ è la matrice identità Template:Nobr e $\otimes$ è il prodotto esterno.

Un'ulteriore generalizzazione del teorema dà il tensore d'inerzia intorno a un qualunque insieme di assi ortogonali paralleli al sistema di riferimento degli assi x, y e z, associato al tensore d'inerzia di riferimento, che passino per il centro di massa o meno.

Applicazioni

Il teorema permette di dedurre la polarizzazione della luce e l'entanglement.

Bibliografia

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Voci correlate

• Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogenei