Teorema di Schur-Horn

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati.

Premessa

Si definisce un preordine su ${ℝ}^n$. Siano $𝐱=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ e $𝐲=(y_1,\dots ,y_n{)}^T\in {ℝ}^n$, dico che $𝐱⪰𝐲$ se, supponendo che:

$x_{i_1}\le \dots \le x_{i_n}$ e $y_{j_1}\le \dots \le y_{j_n}$

Si ha:

$x_{i_1}\ge y_{j_1}$

$x_{i_1}+x_{i_2}\ge y_{j_1}+y_{j_2}$

$\dots$

$\sum _{k=1}^n{x}_{i_k}\ge \sum _{k=1}^n{y}_{j_k}$.

Enunciato

Siano $𝐝=(d_1,\dots ,d_n{)}^T$ e $𝐯=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T\in {ℝ}^n$ tali che $𝐝⪰𝐯$. Allora valgono i seguenti due fatti equivalenti:

• Esiste una matrice reale simmetrica $A$ con diagonale $𝐝$ e autovalori $𝐯$;
• Esiste una matrice reale ortogonale $Q$ tale che, detta $\mathrm{\Lambda }$ la matrice diagonale di autovalori $𝐯$, $Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$ ha come diagonale $𝐝$.

Bibliografia

• Template:En Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.
• Template:En Lieb, E. H. "Variational Principle for Many-Fermion Systems." Phys. Rev. Lett. 46, 457-459, 1981.

Voci correlate

• Algoritmo di Chan-Li, una dimostrazione costruttiva del teorema.
• Decomposizione di una matrice
• Teoria delle matrici

Collegamenti esterni

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