Visualizza wikitesto di Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

{{torna a|Limite di una successione}}
Il '''teorema di esistenza del limite di successioni monotone''' è un [[teorema]] di [[analisi matematica]] che asserisce che ogni [[successione monotona]] di [[numero reale|numeri reali]] ha un [[limite di una successione|limite]].

==Enunciato==
Il teorema afferma che una [[successione monotona]] <math> \{a_n \} </math> di [[numeri reali]] converge sempre ad un [[limite di una successione|limite]] <math> a </math>; più precisamente, il limite di una [[successione crescente]] è il suo [[estremo superiore]], mentre il limite di una [[successione decrescente]] è il suo [[estremo inferiore]].

Tale limite è finito se e solo se <math>\{a_n\} </math> è [[successione limitata|limitata]].

==Esempi==
La successione <math> a_n=1/n </math>:
:<math>1,\frac 12, \frac 13, \frac 14,\ldots </math>
è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:
:<math> a = \inf\{a_n\} = 0 </math>
La successione <math> a_n = n </math>:
:<math>1,2,3,\ldots\,\! </math>
è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:
:<math>a=\sup\{a_n\} = +\infty</math>

==Dimostrazione==
Supponiamo la successione <math> \{a_n \} </math> sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni <math>x</math> esiste un <math>N\in\mathbb{N}</math> tale che <math>a_N>x</math>; di conseguenza, per la monotonia, <math>a_n>x</math> per ogni <math>n>N</math>. Per definizione, allora, il limite di <math> \{a_n \} </math> è infinito.

Se la successione è limitata, sia <math>a</math> il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni <math>\epsilon>0</math> esiste un <math>N\in\mathbb{N}</math> tale che <math>a_N>a-\epsilon</math>; di conseguenza, <math>a_n>a-\epsilon</math> per ogni <math>n>N</math>. Per definizione di limite, <math>a</math> è il limite di <math> \{a_n \} </math>.

Nel caso in cui <math> \{a_n \} </math> sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione <math> \{-a_n \} </math> e poi applicare le proprietà dei limiti.

== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Enrico Giusti|titolo=Analisi matematica 1|editore=Bollati Boringhieri|edizione=terza edizione|anno=2002|isbn=88-339-5684-9}}

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoremi del calcolo infinitesimale|Esistenza del limite di successioni monotone]]
[[Categoria:Limiti]]