Visualizza wikitesto di Teorema di Riemann-Dini

In [[matematica]], il '''teorema di Riemann-Dini''' è un [[teorema]] sulle [[serie (matematica)|serie]] a valori [[numero reale|reali]] semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei [[matematico|matematici]] [[Bernhard Riemann]] e [[Ulisse Dini]].

Il teorema afferma che se una [[serie convergente|serie è (semplicemente) convergente]], ma non [[Serie (matematica)#Convergenza assoluta|assolutamente convergente]], allora, dato un qualsiasi [[numero reale]], esiste una [[permutazione]] dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a <math>+\infty</math> e a <math>-\infty</math>.

== Enunciato ==

Sia <math>\left\{u_n\right\}_{n \in \N}</math> una [[successione (matematica)|successione]] a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

:<math> \sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,</math>

ma non assolutamente convergente,

:<math> \sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty. </math>

Sia inoltre <math>\alpha \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}</math>. Allora esiste una permutazione 

:<math>\sigma:\N\longrightarrow\N</math> 

tale che

:<math> \sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.</math>

==Dimostrazione==

===Lemma===

Per ogni <math>n \in \N</math> si ponga

:<math>
\begin{align}
a_n:=&\max\{u_n,0\},\\
b_n:=&\min\{0,u_n\}.
\end{align}
</math>

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

:<math>\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{e} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.</math>

Infatti, dato che la serie <math>\sum u_n</math> converge e che

:<math>
\begin{align}
u_n&=a_n+b_n \qquad\forall n \in \N,\\
|u_n|&=a_n-b_n \qquad\forall n \in \N,
\end{align}
</math>

allora le serie <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche <math>\sum (a_n-b_n)=\sum |u_n|</math> dovrebbe convergere, il che è [[dimostrazione per assurdo|assurdo]]. Inoltre, poiché per ogni <math>n \in \N</math> <math>a_n \geq 0</math> e <math>b_n \leq 0</math>, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a <math>+\infty</math> e <math>-\infty</math>.

=== Dimostrazione del teorema ===

Per semplicità si supponga che <math>\alpha\in \R</math>, il caso <math>\alpha=\pm \infty</math> è analogo.

==== Costruzione della permutazione ====

Una possibile costruzione della permutazione &sigma; di <math>\N</math> procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore <math>\alpha</math> e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad <math>\alpha</math>  (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione &sigma; si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

==== Convergenza ====

Dato che la serie <math>\sum u_n</math> è convergente allora per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>N_0\in \N</math> tale che

:<math>|u_n|<\varepsilon\qquad \forall n\geq N_0.</math>

Di conseguenza, prendendo <math>N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}</math>, si ha che

:<math>|u_{\sigma(n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_1</math>

(infatti certamente σ(n) > N<sub>0</sub>). Sia ora <math>N_2</math> il più piccolo intero maggiore di <math>N_1</math> tale che <math>u_{\sigma(N_2)}</math> e <math>u_{\sigma(N_2+1)}</math> siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione &sigma; , si ha che

:<math>\left|\alpha-\sum_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.</math>

Si definisca ora, per <math>n \geq 2</math>,  la proposizione

:<math>\mathcal{P}(n): \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.</math>

È chiaro che <math>\mathcal{P}(N_2)</math> è verificata. Si supponga ora che sia vera per <math>n \geq N_2</math>. Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

;Primo caso:
:Se

::<math>0<\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon;</math>

:allora

::<math>0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon</math>

:e dunque

::<math>\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.</math>

;Secondo caso:
:Se

::<math>-\varepsilon \leq \alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0; </math>

:allora

::<math>-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0</math>

:perciò

::<math>\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.</math>

Per il [[principio d'induzione]], risulta dimostrato che

:<math>\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon;</math>

e dunque la serie converge ad <math>\alpha</math>.

== Esempio ==

Si prenda in esame la [[serie armonica#Serie armonica a segni alterni|serie armonica a segni alterni]], denotando con <math>\,u_n</math> il suo termine ''n''-esimo,

:<math> \forall n \in \N^*,\ u_n:=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.</math>

La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}u_n</math> converge per il [[criterio di Leibniz]], ma non converge assolutamente in quanto la [[serie armonica]] diverge positivamente.

È noto che:

:<math> \sum_{k=1}^{+\infty} u_k =1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots=\log(2).</math>

(si veda la dimostrazione fatta nella voce [[serie armonica#Serie armonica a segni alterni|serie armonica a segni alterni]] ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

:<math>1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8}\ +\ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} -\frac1{12} + \cdots,</math>

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k}.</math>

Sommando i primi due termini si ha

:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} = \frac{1}{2(2k - 1)},</math>

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

:<math>=\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} -\frac1{12} \cdots</math>

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

<math>\frac12\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac15 - \frac16 +\ldots\right)=\frac12 \log 2,</math>

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

== Teoremi derivati ==

=== Teorema di Sierpiński ===
Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo <math>\mathbf{R}\cup\{\infty,-\infty\}</math> potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati.
Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a <math>\pm \infty</math>. La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che permutando solo i termini positivi e lasciando fissi quelli minori o uguali a zero è possibile ottenere una serie convergente a qualunque assegnato valore minore o uguale a quello della serie originale.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Sierpiński|nome1=Wacław|titolo=Contribution à la théorie des séries divergentes|rivista=Comp. Rend. Soc. Sci. Varsovie|data=1910|volume=3|pp=89-93}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Sierpiński|nome1=Wacław|titolo=Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes|rivista=Prac. Mat. Fiz.|data=1910|volume=XXI|pp=17-20}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Sierpiński|nome1=Wacław|titolo=Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes|rivista=Bull. Intern. Acad. Sci.: Cracovie A|data=1911|volume=149-158}}</ref>

Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di [[Ideale (matematica)|ideale]]: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintotica zero.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Wilczyński|nome1=Władysław|titolo=On Riemann derangement theorem|rivista=Słup. Pr. Mat.-Fiz.|data=2007|volume=4|pp=79-82}}</ref> Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Filipów|nome1=Rafał|cognome2=Szuca|nome2=Piotr|titolo=Rearrangement of conditionally convergent series on a small set|rivista=Journal of Mathematical Analysis and Applications|data=February 2010|volume=362|numero=1|pp=64-71|doi=10.1016/j.jmaa.2009.07.029}}</ref>

=== Teorema di Steinitz ===
Data una serie convergente <math>\sum a_n</math> di [[numero complesso|numeri complessi]], parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie <math>\sum a_{\sigma(n)}</math> ottenute permutando i suoi termini:

* la serie <math>\sum a_n</math> potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
* la serie <math>\sum a_n</math> potrebbe non convergere assolutamente;  se <math>S</math> denota l'insieme delle somme <math>\sum a_{\sigma(n)}</math> che convergono, allora o <math>S</math> è una retta <math>L</math> nel piano complesso <math>\mathbb{C}</math>, della forma

::<math>L = \{a + t b : t \in \mathbb{R} \}, \quad a, b \in \mathbb{C}, \ b \ne 0,</math>

:oppure è l'intero piano complesso <math>\mathbb{C}</math>.

Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno [[spazio vettoriale]] <math>E</math> su <math>\mathbb{R}</math> di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno [[spazio affine|sottospazio affine]] di <math>E</math>.

== Enunciato più generale ==
Si dimostra<ref>{{Cita libro|autore=P. M. Soardi|titolo= Analisi matematica|editore= Città studi edizioni|anno=2010|città=Novara|pagine=143-145}}.</ref> che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia <math>\left\{u_n\right\}_{n \in \N}</math> una [[successione (matematica)|successione]] a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

:<math> \sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,</math>

ma non assolutamente convergente,

:<math> \sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty. </math>

Siano inoltre <math>\alpha, \beta \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}</math> con <math>\alpha \leq \beta</math>. Allora esiste una permutazione 

:<math>\sigma:\N\longrightarrow\N</math> 

tale che

:<math> \liminf_{n \to \infty}{\sum_{k=0}^n u_{\sigma(n)}} = \alpha</math>

:<math> \limsup_{n \to \infty}{\sum_{k=0}^n u_{\sigma(n)}} = \beta</math>.

Data la definizione di [[limite superiore e limite inferiore|limiti inferiore e superiore]], questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.

== Note ==
<references />

==Voci correlate==
*[[Serie (matematica)]]
*[[Criteri di convergenza]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Serie matematiche]]