Visualizza wikitesto di Teorema di Helly

In [[matematica]], con '''teorema di Helly''' ci si riferisce a più teoremi dovuti a [[Eduard Helly]]. Due di essi riguardano l'[[analisi funzionale]] e il passaggio al limite sotto il segno di [[integrale di Stieltjes]]. Questi due risultati affermano insieme che una [[successione di funzioni]] che sia, localmente, a [[Funzione a variazione limitata|variazione totale limitata]] e [[limitatezza uniforme|uniformemente limitata]] in un punto, ammette una [[sottosuccessione]] [[limite di una successione|convergente]].

In altre parole, si ha un teorema di [[spazio compatto|compattezza]] per lo spazio delle funzioni a variazione limitata <math>BV_{loc}</math>.

== Primo teorema di Helly ==
Sia data una [[successione di funzioni|successione]] <math>\{ f_n \}_{n\geq 1}</math> di [[funzione a variazione limitata|funzioni a variazione limitata]] su un intervallo <math>[a,b]</math>, [[convergenza puntuale|convergenti puntualmente]] a una funzione <math>f</math> e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste <math>C\geq 0</math> tale che:

:<math>\sup_{n\geq 1}V_a^b[f_n] \leq C</math>

Allora la funzione limite <math>f</math> è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni [[funzione continua]] <math>g</math> si verifica:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_a^b g(x)\,df_n(x) = \int_a^b g(x) \,df(x)</math>

== Secondo teorema di Helly ==
Da ogni insieme infinito <math>M</math> di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato <math>[a,b]</math>, uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una [[sottosuccessione]] convergente in ogni punto dell'intervallo <math>[a,b]</math>.

==Generalizzazioni==
Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in [[spazio di Banach|spazi di Banach]], si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.

Sia <math>X</math> uno [[spazio di Hilbert]] [[spazio riflessivo|riflessivo]] e [[spazio separabile|separabile]], e sia <math>E</math> un sottoinsieme [[insieme convesso|convesso]] di <math>X</math>. Detta <math>\Delta : X \to [0,\infty )</math> una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che <math>z_n</math> è una successione uniformemente limitata in <math>BV([0,T];X)</math> con <math>z_n(t) \in E</math> per ogni <math> n \in \N</math> e <math>t \in [0,T]</math>. Allora esiste una sottosuccessione <math>z_{n_{k}}</math> e una coppia di funzioni <math>\delta, z \in BV([0,T];X)</math> tali che:

:<math>\int_{[0, t)} \Delta (\mathrm{d} z_{n_{k}}) \to \delta(t) \qquad z_{n_{k}} (t) \rightharpoonup z(t) \in E </math>

per ogni <math>t \in [0,T] </math>, e:

:<math> \int_{[s, t)} \Delta(\mathrm{d} z) \leq \delta(t) - \delta(s)</math>

per ogni <math>0 \le s < t \le T</math>.

==Bibliografia==
* {{Cita libro|cognome= Barbu
|nome= V.
|autore2=Precupanu, Th.
|titolo= Convexity and optimization in Banach spaces
|serie= Mathematics and its Applications (East European Series)
|volume= 10
|edizione= Second Romanian Edition
|editore= D. Reidel Publishing Co.
|città= Dordrecht
|anno= 1986
| isbn = 90-277-1761-3
| nopp = true
|p= xviii+397|lingua= en
}}

==Voci correlate==
* [[Funzione a variazione limitata]] 
* [[Integrale di Stieltjes]]
* [[Limitatezza uniforme]] 
* [[Sottosuccessione]]
* [[Successione di funzioni]]

==Collegamenti esterni==
* {{cita web | 1 = http://www.dm.unito.it/quadernididattici/favro/convessa.pdf | 2 = Paola Favro, Andreana Zucco - Appunti di geometria convessa | accesso = 29 giugno 2014 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20110125003922/http://www.dm.unito.it/quadernididattici/favro/convessa.pdf | dataarchivio = 25 gennaio 2011 | urlmorto = sì }}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoremi di analisi funzionale|Helly]]