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[[File:Rotation_of_unit_vectors.svg|150x140px|destra]]

Nell'[[algebra lineare]], una '''matrice di rotazione''' è una [[matrice di trasformazione]] utilizzata per eseguire una [[Rotazione (matematica)|rotazione]] nello [[spazio euclideo]]. Per esempio, utilizzando la seguente convenzione, la matrice
:<math>R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}</math>
ruota i punti nel piano <math>xy</math> in senso antiorario di un angolo <math>\theta</math> rispetto all'origine di un [[sistema di riferimento cartesiano]] bidimensionale. Per ruotare un punto nel piano con coordinate standard <math>\mathbf{v} = (x, y)</math>, si deve [[Moltiplicazione di matrici|moltiplicare]] la matrice <math>R</math> per il vettore colonna, ottenendo:

:<math>R\mathbf{v} = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\cos\theta-y\sin\theta \\ x\sin\theta+y\cos\theta \end{bmatrix}.</math>

Se <math>x</math> e <math>y</math> rappresentano le coordinate finali di un vettore, dove <math>x</math> è il coseno e <math>y</math> è il seno, allora le equazioni precedenti diventano l'[[identità trigonometrica]]. Infatti, una matrice di rotazione può essere letta come le formule di addizione trigonometriche in forma di matrice. Un modo per comprenderlo è ipotizzare di avere un vettore con un angolo di 30° rispetto all'asse <math>x</math> e ruotarlo di altri 45°. Si ottengono le coordinate del punto finale del vettore a 75°.

Gli esempi riportati si applicato alle ''rotazioni attive'' di vettori ''in senso antiorario'' in un ''sistema di coordinate destrorso'' (con <math>y</math> in senso antiorario rispetto a <math>x</math>) mediante ''pre-moltiplicazione'' (con la matrice <math>R</math> sulla sinistra). Se uno di questi viene modificato (per esempio, ruotando gli assi in luogo dei vettori, si ha una ''trasformazione passiva''), in quel caso si dovrebbe usare l'[[Matrice invertibile|inversa]] della matrice di esempio, che coincide con la sua [[Matrice trasposta|trasposta]].

Una [[matrice quadrata]] <math>R</math> è di rotazione se, e solo se, è [[Matrice ortogonale|ortogonale]] con numeri [[Numero reale|reali]], (con <math>R^\mathsf{T}=R^{-1}</math> e <math>\det R=1</math>).

Poiché la moltiplicazione di matrici non ha effetto sul vettore nullo (le coordinate dell'origine), le matrici di rotazione descrivono le rotazioni attorno all'origine, fornendo una descrizione algebrica di tali rotazioni e sono ampiamente utilizzate per calcoli in [[geometria]], [[fisica]] e [[computer grafica]]. In alcuni testi, il termine ''rotazione'' viene generalizzato includendo le rotazioni improprie, con [[Determinante (algebra)|determinante]] −1 (invece di +1). Questi combinano rotazioni ''proprie'' con ''riflessioni'' (che invertono l'orientamento). In altri casi, dove le riflessioni vengono trascurate, la dicitura ''vera e propria'' può essere omessa. Qui verrà fatta quest'ipotesi.

L'[[insieme]] di tutte le matrici ortogonali di dimensione <math>n</math> con determinante +1 è una [[Rappresentazione dei gruppi|rappresentazione]] di un [[Gruppo (matematica)|gruppo]] noto come [[Gruppo ortogonale|gruppo ortogonale speciale]] <math>\text{SO}(n)</math>, un esempio è il gruppo di rotazione tridimensionale <math>\text{SO}(3)</math>. L'insieme di tutte le matrici ortogonali di dimensione <math>n</math> con determinante +1 o −1 è una rappresentazione del [[gruppo ortogonale]] (generale) <math>\text{O}(n)</math>.

'''[[Matrice di rotazione|Leggi la voce]]'''