Visualizza wikitesto di Q-serie ipergeometrica

In [[matematica]], le '''q-serie ipergeometriche''', chiamate anche '''serie ipergeometriche basiche''', sono generalizzazioni [[q-analogo|q-analoghe]] delle [[serie ipergeometrica|serie ipergeometriche]] ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le '''q-serie ipergeometriche unilaterali''' e le '''q-serie ipergeometriche bilaterali'''.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria <math>\sum_n x_n</math> viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi <math>x_{n+1}/x_n</math> è una [[funzione razionale]] di ''n''. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di <math>q^n</math>, la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da [[Eduard Heine]] nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle [[funzione teta|funzioni teta]] di Jacobi e alle [[funzione ellittica|funzioni ellittiche]].

== Definizione ==
Si definisce '''q-serie ipergeometrica unilaterale''' in 2 ''k'' + 1 parametri e nella variabile ''z''
:<math>\;_{k+1}\phi_k \left[\begin{matrix} 
a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ 
& b_1, & b_2, & \ldots, & b_k \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty  
\frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n</math>

dove 

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n</math>

è il [[q-fattoriale crescente]].

La '''q-serie ipergeometrica bilaterale''' in 2 ''k'' parametri e nella variabile ''z'' viene definita come
:<math>\;_k\psi_k \left[\begin{matrix} 
a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ 
b_1, & b_2, & \ldots, & b_k  \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n</math> .

== Semplici esempi ==
Alcuni semplici esempi di queste serie includono

:<math>\frac{z}{1-q} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q,& q \\ 
&q^2  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q}
+ \frac{z^2}{1-q^2}
+ \frac{z^3}{1-q^3}
+ \ldots </math> ,

:<math>\frac{z}{1-q^{1/2}} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q, & q^{1/2} \\ 
& q^{3/2}  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q^{1/2}}
+ \frac{z^2}{1-q^{3/2}}
+ \frac{z^3}{1-q^{5/2}}
+ \ldots </math>

e 

:<math>\;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q, & -1 \\ 
& -q  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 1+
\frac{2z}{1+q}
+ \frac{2z^2}{1+q^2}
+ \frac{2z^3}{1+q^3}
+ \ldots </math>

== Semplici identità ==
Tra le identità più semplici segnaliamo

:<math>\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = \prod_{n=0}^\infty 
\frac {1-aq^n z}{1-q^n z}</math>

e
 
:<math>\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = 
\frac {1-az}{1-z} \;_{1}\phi_0 (a;q,qz)</math>

Il caso particolare relativo ad <math>a=0</math> è strettamente collegato alla [[funzione q-esponenziale]].

== Identità di Ramanujan ==
[[Ramanujan]] ha scoperto l'identità

:<math>\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} 
= \frac {(b/a;q)_\infty\; (q;q)_\infty\; (q/az;q)_\infty\; (az;q)_\infty }
{(b;q)_\infty\; (b/az;q)_\infty\; (q/a;q)_\infty\; (z;q)_\infty} </math>

valida per <math>|q|<1</math> e <math>|b/a| < |z| < 1</math>. Una fondamentale identità simile alla precedente concernente <math>\,_6\psi_6</math> è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del [[triplo prodotto di Jacobi]], il quale può essere scritto mediante la q-serie come

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = 
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty</math> .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una [[serie formale di potenze]] collegata 

:<math>A(z;q) = \frac{1}{1+z} \sum_{n=0}^\infty 
\frac{(z;q)_n}{(-zq;q)_n}z^n = 
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} q^{n^2}.</math>

== Q-serie ipergeometrica generalizzata ==

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce '''q-serie ipergeometrica unilaterale''' secondo Gasper in ''r'' + ''s'' + 1 parametri e nella variabile ''z''
:<math>\;_{r+1}\phi_s \left[\begin{matrix} 
a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_r \\ 
& b_1, & b_2, & \ldots, & b_s \end{matrix} 
; q,z \right] :\!= \sum_{n=0}^\infty  
\{(-1)^nq^{n\choose 2}\}^{s-r}
\frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_r;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_s;q)_n} z^n</math>

== Bibliografia ==
* [[Eduard Heine]], ''[https://www.archive.org/stream/handbuchderkugel01heinuoft#page/96/mode/2up Theorie der Kugelfunctionen]'', (1878) ''1'', pp 97-125.
* Eduard Heine, ''Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung'' (1898) Springer, Berlin.
* W.N. Bailey, ''Generalized Hypergeometric Series'', (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge. 
* Chu WenChang (1998): ''Basic Almost-Poised Hypergeometric Series'', Memoirs of the American Mathematical Society, N. 642, ISBN 0-8218-0811-7.
* THomas Ernst (2001): ''[https://web.archive.org/web/20150824041046/http://www2.math.uu.se/research/pub/Ernst4.pdf Licentiate Thesis: The history of the q-calculus and a new method]'' (University of Uppsala) 
* W. Chu, L. Di Claudio (2004): ''{{collegamento interrotto|1=[http://siba2.unile.it/ese/search/issue.php?recs=10&id=366&pub_type=m&single_pub=1&pub_id=58&n_campo=contents  	Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series] |data=aprile 2018 |bot=InternetArchiveBot }}'' Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce.
* Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, ''[https://web.archive.org/web/20060829063804/http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/067.pdf A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions]'', (2003) Proceedings of the [[American Mathematical Society]] '''131''', pp. 719-724
* George Gasper and Mizan Rahman, ''Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition'', (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, '''96''', Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
* Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, ''[https://web.archive.org/web/20050410204356/http://www.labri.fr/Perso/~lovejoy/1psi1.pdf Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's <math>\,_1\psi_1</math> Summation]'', (senza data)

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