Visualizza wikitesto di Punto singolare di una curva

[[File:cusp.svg|thumb|right|Una cuspide nell'origine del grafico della curva ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup>]]
In [[geometria]], un '''punto singolare di una [[curva (matematica)|curva]]''' è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una [[funzione liscia]]. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

== Curve algebriche nel piano ==
Una [[curva algebrica]] nel [[piano (geometria)|piano]] è definita come il [[luogo geometrico]] dei punti <math>(x,y)</math> del piano che soddisfano una equazione nella forma <math>f(x,y)=0</math> dove <math>f</math> è una funzione [[polinomio|polinomiale]] <math>f\colon \R^2\to \R</math>
:<math>f(x,y)=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots</math>

Se l'origine <math>(0,0)</math> appartiene alla curva allora <math>a_0=0</math>. Se <math>b_1\neq 0</math> allora il [[teorema delle funzioni implicite]] assicura che esiste una funzione liscia <math>h</math> tale che la curva ha la forma <math>y=h(x)</math> in un [[intorno]] dell'origine. Analogamente, se <math>b_0\neq 0</math> allora esiste una funzione liscia <math>k</math> tale che la curva ha la forma <math>x=k(y)</math> in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da <math>\R</math> al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che
:<math>b_0={\partial f\over\partial x},\,b_1={\partial f\over\partial y},</math>
per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il [[gradiente]] di <math>f</math>:
:<math>f(x,y)={\partial f\over\partial x}={\partial f\over\partial y}=0.</math>

=== Punti di regolarità ===
Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo <math> y = mx </math>, <math> f </math> può essere scritta come
:<math>f=(b_0+mb_1)x+(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+\dots.\,</math>
Se <math> b_0 + mb_1 \ne 0</math> allora <math> f = 0 </math> ha una soluzione di molteplicità <math> 1 </math> per <math> x = 0 </math> e l'origine è un punto di contatto di ordine <math> 1 </math> con la retta  <math> y = mx </math>. 

Se <math> b_0 + mb_1 = 0 </math> allora <math> f = 0 </math> ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a <math> 2 </math> e la retta <math> y = mx </math> ovvero <math> b_0x + b_1y = 0 </math> è tangente alla curva. In tale caso, se <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 \ne 0 </math> allora la curva ha un punto di contatto di ordine <math> 2 </math> con <math> y = mx </math>. 

Se il coefficiente di <math> x^2 </math> è nullo ovvero se <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> ma non è nullo il coefficiente di <math> x^3 </math> allora l'origine è un [[punto di flesso]] della curva. Se entrambi i coefficienti di <math> x^2 </math> e <math> x^3 </math> sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione.<ref>[http://www.treccani.it/enciclopedia/ondulazione_%28Dizionario-delle-Scienze-Fisiche%29/ ondulazione in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref> Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.<ref>{{cita|Hilton|chap. II §1|hilton}}.</ref>

=== Punti doppi ===
[[File:Limacons.svg|thumb|upright=2|Tre [[limaçon]]: la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell'origine, quella al centro ([[cardioide]]) ha una [[cuspide (matematica)|cuspide]] nell'origine, quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell'origine.]]
Se <math> b_0 </math> e <math> b_1 </math> sono entrambi nulli ma almeno uno tra <math> c_0 </math>, <math> c_1 </math> e <math> c_2 </math> è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo <math> y = mx </math> , <math> f </math> può essere scritta come
:<math>f=(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+(d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3)x^3+\dots.\,</math>
I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di 
<math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math>.

==== Nodi ====
Se <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> ha due soluzioni [[numero reale|reali]] rispetto a <math> m </math>, ovvero se <math> c_0c_2 - (c_1)^2 <  0 </math> allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math>. La funzione <math> f </math> ha un [[punto di sella]] in corrispondenza.

==== Punti doppi isolati ====
Se <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> non ha soluzioni reali rispetto a <math> m </math>, ovvero se <math> c_0c_2 - (c_1)^2 > 0 </math>, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva [[numeri complessi|complessa]] l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math>. La funzione <math> f </math> ha un [[estremo locale]] in corrispondenza.

==== Cuspidi ====
Se <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> ha una soluzione di molteplicità <math> 2 </math> rispetto a <math> m </math>, ovvero <math> c_0c_2 - (c_1)^2 = 0 </math>, allora l'origine è un punto di [[cuspide (matematica)|cuspide]]. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

==== Ulteriori classificazioni ====
Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della [[formula di Plücker]].

Se una delle soluzioni di <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> è anche soluzione di <math> d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3 = 0 </math> allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di '''flencnodo'''.<ref>[http://www.treccani.it/enciclopedia/flecnodo_%28Dizionario-delle-Scienze-Fisiche%29/ flecnodo in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref> Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero <math> c_0 + 2mc_1 + c_2m^2 = 0 </math> è un fattore di <math> d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3 = 0 </math>, allora l'origine è un '''biflecnodo'''.<ref>{{cita|Hilton|chap. II §2|hilton}}.</ref>

=== Punti multipli ===
[[File:3 Petal rose.svg|thumb|upright=1.5|La curva <math> f(t) = (\sin(2t) + \cos(t), \sin(t) + \cos(2t) </math> ha un punto triplo nell'origine]]
In generale, se tutti i termini di grado inferiore a <math> k </math> sono nulli, almeno un termine di grado <math> k </math> è non nullo in <math> f </math> e la curva ha un punto multiplo di ordine <math> k </math>. La curva avrà, in generale, <math> k </math> tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.<ref>{{cita|Hilton|chap. II §3|hilton}}.</ref>

== Curve parametriche ==
Una [[parametrizzazione|curva parametrica]] in <math>\R^2</math> è definita come l'immagine di una funzione <math>g\colon \R\to\R^2, \ g(t)=(g_1(t),g_2(t))</math>. I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di <math>g</math>, ovvero
:<math>{dg_1\over dt}={dg_2\over dt}=0.</math>

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come <math>x^3-y^2=0</math> o in forma parametrica come <math>g(t)=(t^2,t^3)</math>. Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva <math>y^2-x^3-x^2=0</math>, l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione <math>g(t)=(t^2-1,t^3-t)</math>, si ha che <math>g'(t)=(2t,3t^2-1)</math> non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta <math>y=0</math> parametrizzata da <math>g(t)=(t^3,0)</math> ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da <math>g(t)=(t,0)</math> non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di [[punto singolare di una parametrizzazione regolare]] piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve [[funzione implicita|implicite]], che sono definiti come insieme degli zeri <math>f^{-1}(0)</math> di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di [[Hassler Whitney]] afferma che ogni [[insieme chiuso]] in <math>\R^n</math> è l'insieme degli zeri <math>f^{-1}(0)</math> di una opportuna funzione liscia <math>f\colon \R^n\to \R</math>.<ref>{{en}}Brooker and Larden, ''Differential Germs and Catastrophes'', London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)</ref><ref>{{en}}Bruce and Giblin, ''Curves and singularities'', (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*{{cita libro|titolo=Plane Algebraic Curves|nome=Harold|cognome=Hilton|editore=Oxford|anno=1920|capitolo=Chapter II: Singular Points|lingua=inglese|url=https://www.archive.org/stream/cu31924001544216#page/n37/mode/1up|cid=hilton}}

== Voci correlate ==
*[[Teoria di Morse]]
*[[Teoria delle singolarità]]
*[[Curva (matematica)]]
*[[Curva piana]]
*[[Curva nello spazio]]
*[[Cuspide (matematica)]]
*[[Punto angoloso]]
{{portale|matematica}}
[[Categoria:Curve]]