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Un '''processo di nascita e morte''' è un [[processo stocastico]] [[processo di Markov|markoviano]] a tempo continuo sullo spazio degli stati dato dall'insieme dei [[numeri naturali]], che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato ''n'', può solamente passare o allo stato ''n+1'' (nascita) o allo stato ''n-1'' (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in [[biologia]], [[teoria delle code]] e [[demografia]].

[[File:BD-proces.png]]

==Definizione==
Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su <math>\mathbb N</math> che soddisfa le seguenti proprietà:
* Gli incrementi sono indipendenti, ossia la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
* Se il processo si trova in ''n'', la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per <math>h\to 0</math>
::<math>\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda_n h + o(h).</math>
* Se il processo si trova in ''n''>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per <math>h\to 0</math>
::<math>\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = -1) = \mu_n h + o(h).</math>
* Se il processo si trova in ''n'', la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ossia per <math>h\rightarrow 0</math>
::<math>\mathbb P (|N_{t+h} - N_{t}| \geq 2) = o(h).</math>

Le quantità λ<sub>n</sub> e μ<sub>n</sub> sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

==Proprietà==
* Il processo soddisfa la [[proprietà di Markov]].
* Il processo soddisfa la [[proprietà di Markov forte]].
* La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data, per <math>h\rightarrow 0</math>, da
::<math>\mathbb P (N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1-(\mu_n+\lambda_n)h + o(h).</math>
* Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha [[distribuzione esponenziale|legge esponenziale]] di parametro (λ<sub>n</sub> + μ<sub>n</sub>).
* Il [[processo di Poisson]] è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui μ<sub>n</sub>=0 e λ<sub>n</sub>=λ per ogni ''n''.

== Condizioni per la ricorrenza e la transitorietà ==
Le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà sono state stabilite da [[Samuel Karlin]] e [[James Lewin McGregor|James McGregor]].<ref>{{Cita pubblicazione|url=https://www.ams.org/journals/tran/1957-086-02/S0002-9947-1957-0094854-8/S0002-9947-1957-0094854-8.pdf |titolo=The classification of birth and death processes |autore1=Karlin, Samuel |autore2=McGregor, James |anno=1957 |rivista=Transactions of the American Mathematical Society | volume=86 | numero=2 |pp=366-400 | doi=10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8 |wkautore1=Samuel Karlin}}</ref>.

Un processo di nascita e morte è ''ricorrente'' se e solo se

:<math>\sum_{i=1}^\infty\prod_{n=1}^i\frac{\mu_n}{\lambda_n}=\infty.</math>

Un processo di nascita e morte è ''ergodico'' se e solo se

:<math>\sum_{i=1}^\infty\prod_{n=1}^i\frac{\mu_n}{\lambda_n}=\infty \quad \text{e} \quad \sum_{i=1}^\infty\prod_{n=1}^i\frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}<\infty.</math>

Un processo di nascita e morte è ''nullo-ricorrente'' se e solo se

:<math>\sum_{i=1}^\infty\prod_{n=1}^i\frac{\mu_n}{\lambda_n}=\infty \quad \text{e} \quad \sum_{i=1}^\infty\prod_{n=1}^i\frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}=\infty.</math>

Le condizioni per la ricorrenza, la transitorietà, l'ergodicità e la ricorrenza nulla possono essere derivate in una forma più esplicita<ref name="Abr2008">{{Cita pubblicazione|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.2020.1722551?needAccess=true |cognome1=Abramov |nome1=Vyacheslav M. |data=2020 |titolo=Extension of the Bertrand–De Morgan test and its application |rivista=The American Mathematical Monthly |volume=127 |numero=5 |pp=444-448 |doi=10.1080/00029890.2020.1722551 |arxiv=1901.05843 }}</ref>.

Per ogni intero <math>K\ge 1</math>, sia <math>\ln_{(K)}(x)</math> la <math>K</math>-esima iterazione del [[logaritmo naturale]], ossia <math>\ln_{(1)}(x)=\ln (x)</math>, e per qualsiasi <math>2\le k\le K</math>, <math>\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))</math>.

Quindi, le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà di un processo di nascita e morte sono le seguenti.

Il processo di nascita e morte è transitorio se esistono <math>c>1</math>, <math>K\ge 1</math> e <math>n_0</math>, tale che per ogni <math>n>n_0</math> si ha

:<math>\frac{\lambda_n}{\mu_n}\geq1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{j=1}^k\ln_{(j)}(n)}+\frac{c}{n\prod_{j=1}^K\ln_{(j)}(n)},</math>

dove la [[somma vuota]] per <math>K=1</math> si assume che sia 0.

Il processo di nascita e morte è ricorrente se esistono <math>K\ge 1</math> e <math>n_0</math>, tali che per ogni <math>n>n_0</math> si ha

:<math>\frac{\lambda_n}{\mu_n}\leq1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\prod_{j=1}^k\ln_{(j)}(n)}.</math>

Possono essere trovate classi più ampie di processi di nascita e morte per i quali è possibile stabilire le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà<ref>{{Cita pubblicazione|url=http://files.ele-math.com/articles/jca-19-09.pdf |cognome1=Abramov |nome1=Vyacheslav M. |data=2022 |titolo=Necessary and sufficient conditions for the convergence of positive series |rivista=Journal of Classical Analysis |volume=19 |numero=2 |pp=117-125 |doi=10.7153/jca-2022-19-09 |arxiv=2104.01702 }}</ref>.

== Applicazione ==

Consideriamo il [[passeggiata aleatoria]] unidimensionale <math>S_t</math>, <math>t=0,1,\ldots</math>, che è definito come segue. Lasciare <math>S_0=1</math> e <math>S_t=S_{t-1}+e_t</math>, <math>t\geq1</math>, dove <math>e_t</math> accetta valori <math>\pm1</math>, e la distribuzione di <math>S(t)</math> è definito dalle seguenti condizioni:

::<math>\mathbb{P}\{S_{t+1}=S_t+1|S_t>0\}=\frac{1}{2}+\frac{\alpha_{S_t}}{S_t}, \quad \mathbb{P}\{S_{t+1}=S_t-1|S_t>0\}=\frac{1}{2}-\frac{\alpha_{S_t}}{S_t}, \quad \mathbb{P}\{S_{t+1}=1|S_t=0\}=1,</math>
dove <math>\alpha_n</math> soddisfano la condizione <math>0<\alpha_n<\min\{C, n/2\}</math>, <math>C>0</math>.

:Il passeggiata aleatoria qui descritto è un analogo a tempo discreto del processo di nascita e morte (vedi [[Processo markoviano|catena di Markov]]) con i tassi di natalità
::<math>\frac{1}{2}+\frac{\alpha_n}{2},</math>
:e i tassi di mortalità
::<math>\frac{1}{2}-\frac{\alpha_n}{2}.</math>

Quindi, la ricorrenza o la transitorietà del passeggiata aleatoria è associata alla ricorrenza o alla transitorietà del processo di nascita e morte.<ref name="Abr2008" />

:La passeggiata aleatoria è transitorio se esiste <math>c>1</math>, <math>K\geq1</math> e <math>n_0</math> tale che per ogni <math>n>n_0</math>
::<math>\alpha_n\geq\frac{1}{4}\left(1+\sum_{k=1}^{K-1}\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{\ln_{(j)}(n)}+c\prod_{j=1}^{K}\frac{1}{\ln_{(j)}(n)}\right),</math>
:dove la somma vuota per <math>K=1</math> è assunto pari a zero.

La passeggiata aleatoria è ricorrente se esiste <math>K\geq1</math> e <math>n_0</math> tale che per ogni <math>n>n_0</math>
::<math>\alpha_n\leq\left(1+\sum_{k=1}^{K}\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{\ln_{(j)}(n)}\right).</math>

== Note ==
<references />

==Bibliografia==
*{{cita libro|cognome = Karlin|nome = Samuel|cognome2 = Taylor|nome2 = Howard M.|titolo= A first course in stochastic processes|editore= Academic Press|anno= 1975 }}

==Voci correlate==
* [[Teoria delle code]]
* [[Processo stocastico]]
* [[Processo markoviano]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Processi stocastici]]