Visualizza wikitesto di Podaria

In geometria, la '''podaria''' di un [[Curva (matematica)|curva]] rispetto ad un [[punto (geometria)|punto]] <math>P</math> detto ''polo'' è il [[luogo (geometria)|luogo geometrico]] formato dalle [[proiezione (geometria)|proiezioni]] di <math>P</math> sulle [[tangente (geometria)|rette tangenti]] alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle [[perpendicolarità|normali]] alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche ''antipodaria''.

==Equazione della podaria==

Siano date le [[equazione parametrica|equazioni parametriche]] della curva <math>\Gamma</math>:

:<math>
\left \{
\begin{matrix}
x & = & f(t) \\
y & = & g(t),
\end{matrix}
\right.
</math>

dove <math>f</math> e <math>g</math> sono due [[derivata|funzioni derivabili]] su un [[intervallo (matamatica)|intervallo]] <math>I \in \mathbb{R}</math>. La tangente di <math>\Gamma</math> nel suo punto <math>\left( f(t), g(t) \right)</math> ha equazione

:<math>
y - g(t) = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime(t)} \left( x-f(t) \right).
</math>

La proiezione di <math>P \left( x_0,y_0 \right)</math> sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per <math>P</math>:

:<math>
y - y_0 = - \frac{f^\prime (t)}{g^\prime(t)} \left( x-x_0 \right).
</math>

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

:<math>
\left \{
\begin{matrix}
x & = & \frac{x_0 f^{\prime 2}(t) + (y_0 - g(t)) f^\prime(t) g^\prime(t) + f(t) g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t) + g^{\prime 2}(t)} \\
y & = & \frac{g(t) f^{\prime 2}(t) + (x_0  - f(t)) g^\prime(t)f^\prime(t) + y_0 g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t) + g^{\prime 2}(t)},
\end{matrix}
\right.
</math>

==Casi particolari==

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

===Podaria della circonferenza===

[[File:Podaria_of_circle.png|right|thumb|Esempi di podaria della circonferenza con poli in differenti posizioni]]

La podaria di una circonferenza è la [[limaçon|lumaca di Pascal]].

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e [[centro (geometria)|centro]] nel punto <math>(1,0)</math>, di equazioni parametriche:

:<math>
\left \{
\begin{matrix}
x & = & 1 + \cos t \\
y & = & \sin t.
\end{matrix}
\right.
</math>

Possiamo limitarci a considerare i poli <math>P(a,0)</math>, posti sull'[[piano cartesiano|asse delle ascisse]], con <math>a \leq 1</math>. Le equazioni della podaria sono allora:

:<math>
\left \{
\begin{matrix}
x & = & \cos t (1 + \cos t) + a \sin^2 t  = a+ \cos t + (1-a) \cos^2 t\\
y & = & \sin t (1+ \cos t) - a \sin t \cos t = \sin t + (1-a) \sin t \cos t.
\end{matrix}
\right.
</math>

I casi possibili sono:

* <math>P</math> è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
* <math>P</math> è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
* <math>P</math> è sulla circonferenza: la podaria è una [[cardioide]];
* <math>P</math> è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

===Podaria della parabola===

[[File:Podaria_of_parabola.png|right|thumb|Esempi di podaria della parabola con poli in differenti posizioni]]

Consideriamo la parabola di equazione <math>y=x^2</math>; le sue equazioni parametriche sono <math>x=t</math> e <math>y=t^2</math>; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo <math>P(0,a)</math> che giace sull'asse della parabola:

:<math>
\left \{
\begin{matrix}
x & = & \frac{2t(a+t^2)}{1 + 4t^2} \\
y & = & \frac{t^2 (4a-1)}{1 + 4t^2}.
\end{matrix}
\right.
</math>

Alcune podarie notevoli sono:

* <math>a=1/4</math>: il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
* <math>a=0</math>: il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una [[cissoide di Diocle]];
* <math>a=-3/4</math>: il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la [[trisettrice di Mac Laurin]].

==Voci correlate==

* [[Evoluta]] di una curva

==Altri progetti==
{{interprogetto}}

==Collegamenti esterni==

* {{cita web|url=http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=card_pod|titolo=Costruzione della podaria di una circonferenza|lingua=es|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20070310150018/http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=card_pod|dataarchivio=10 marzo 2007}}
* {{cita web|http://xoomer.alice.it/cristiano.dane/cabri/Coniche/podaria_parabola.htm|Una applet interattiva sulla podaria della parabola}}

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Curve piane]]