Visualizza wikitesto di Partizione di un intervallo

{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[matematica]] la '''partizione di un [[intervallo (matematica)|intervallo]]''' [[numero reale|reale]] è un [[insieme]] di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'[[integrale di Riemann]] e  la [[lunghezza di un arco]].

Se l'intervallo è <math>I=[a,b]</math> la partizione di <math>I</math> è un insieme <math>\rho=\{t_i\}_{i=0}^{n}</math>

:<math>\rho = \{t_i\in [a,b]:a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b\}</math>

La partizione dell'intervallo <math>I</math> definisce in modo naturale dei sottointervalli di <math>I</math>, come ad esempio:
:<math>I_0 = [t_0,t_1), I_1=[t_1,t_2), \ldots, I_{n-1}=[t_{n-1},t_n)</math>

che costituiscono una particolare [[partizione (teoria degli insiemi)|partizione]] dell'insieme <math>[a,b]</math>. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli (<math>\Delta t_i=t_{i+1}-t_{i}</math>) non devono necessariamente essere uguali.

== Ampiezza di una partizione ==
L'ampiezza (o ''mesh'') della partizione <math>\rho</math> è definita come:
:<math>|\rho|=\max_{1\leq i \leq n}\Delta t_i=\max_{1\leq i \leq n} (t_{i+1}-t_{i})</math>

L'ampiezza di una partizione è usata nelle [[somma di Riemann|somme di Riemann]].

== Relazioni tra partizioni ==
Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione <math>\pi'</math> è più fine di un'altra <math>\pi</math> se i punti di <math>\pi</math> sono tutti presenti fra quelli di <math>\pi'</math>, cioè se:
:<math>\pi\subseteq \pi'.</math>
Si dice che <math>\pi'</math> è un '''raffinamento''' di <math>\pi</math>. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con <math>\left.\ {\pi'}  \right \}\pi </math>. Ovviamente vale:
:<math>|\rho(\pi')| \leq |\rho(\pi)|</math>
che giustifica il nome "raffinamento".

== Esempio ==
Dato l'intervallo <math>[0,10]</math> una partizione può essere <math>\{0,2,6,10\}</math>, un raffinamento <math>\{0,1,2,5,6,7,10\}</math>. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

==Voci correlate==
* [[Integrale di Riemann]]
* [[Integrale di Riemann-Stieltjes]]

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Calcolo infinitesimale]]