Visualizza wikitesto di Modulo di deformazione lineare

In [[cartografia]], il '''modulo di deformazione lineare''' è l'indice di deformazione degli elementi lineari sulla carta ed è espresso mediante il rapporto tra la [[distanza (matematica)|distanza]] di due punti su una [[carta geografica]] rispetto alla loro distanza sulla sfera rappresentativa. Esso dipende sia dalla posizione del punto che dalla direzione lungo la quale è calcolato. Si parla di "deformazione lineare" in quanto proiettando delle distanze da una superficie sferoidale (costituita dalla [[Terra]]) ad una superficie piana (costituita dal foglio di carta) si ha (sul piano) una deformazione, che viene detta appunto "deformazione lineare".

Se indichiamo con <math>dS_e</math> un archetto infinitesimo di geodetica sull'ellissoide e con <math>dS_c</math> il corrispondente sulla carta, il rapporto

<math>m_L= {dS_c \over dS_e}</math>

viene detto ''modulo di deformazione lineare.''<ref>{{Cita web|url=http://www.ae-cmi.it/cartografia/Resta%20-%20Lezioni%20di%20topografia.pdf|titolo=Resta - Lezioni di Topografia}}</ref>

Ciò implica che ad un cerchio infinitesimo tracciato sull'ellissoide corrisponda un’[[ellisse]] infinitesima sul piano della carta (detta [[Indicatore di Tissot|ellisse indicatrice di Tissot]] o ellisse indicatrice dei moduli perché indica le modifiche subite nei dintorni di un punto <math>P</math> a seguito della rappresentazione cartografica).<ref>{{Cita web|url=http://geomatica.como.polimi.it/corsi/cartografialaurea/|titolo=Corso Cartografia Numerica|sito=geomatica.como.polimi.it|accesso=2016-12-04|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20161129210313/http://geomatica.como.polimi.it/corsi/cartografialaurea/|dataarchivio=29 novembre 2016|urlmorto=sì}}</ref> In ogni punto il [[Posizione|raggio vettore]] dell’ellisse rappresenta l’inverso del modulo di deformazione lineare, per cui le direzioni degli assi di questa ellisse sono quelle in cui <math>m_L</math> assume valore massimo e minimo. Tale modulo dipende sia dalla [[scala di rappresentazione]] sia dal tipo di [[proiezione cartografica]] adottata per la rappresentazione.

Nella [[Proiezione di Gauss|Rappresentazione di Gauss]] il modulo di deformazione lineare <math>m_G</math> (diverso da punto a punto) è uguale in tutte le direzioni uscenti da un punto (ovvero modulo di deformazione costante nell'intorno infinitesimo del punto) ed è uguale a:

<math>m_G= 1+ {1\over 2}\lambda^2\cos^2\varphi</math>   ,

dove:

- '''λ''': Longitudine ellissoidica: [[angolo diedro]] che si forma tra il piano meridiano di riferimento e il piano meridiano passante per <math>P</math>;

- <math>\varphi</math>: Latitudine ellissoidica: angolo che la normale n all’ellissoide, passante per <math>P</math>, forma con il piano equatoriale.<ref>{{Cita web|url=http://www.dica.unict.it/Personale/Docenti/assets/01_Elementi%20di%20Geodesia%20e%20Cartografia.pdf|titolo=Modulo di deformazione lineare nella proiezione di Gauss|accesso=4 dicembre 2016|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20150412023219/http://www.dica.unict.it/Personale/Docenti/assets/01_Elementi%20di%20Geodesia%20e%20Cartografia.pdf|dataarchivio=12 aprile 2015|urlmorto=sì}}</ref>

== Dimostrazione matematica ==
[[File:Passaggio ellissoide carta.png|miniatura|708x708px|Passaggio dalla superficie dell'ellissoide al piano della carta]]
Data la definizione di modulo di deformazione lineare<ref>{{Cita web|url=http://geomatica.como.polimi.it/corsi/cartografialaurea/|titolo=Dimostrazione modulo di deformazione lineare|sito=geomatica.como.polimi.it|accesso=2016-11-29|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20161129210313/http://geomatica.como.polimi.it/corsi/cartografialaurea/|dataarchivio=29 novembre 2016|urlmorto=sì}}</ref> pari a:
<math>m_L={dS_c \over dS_e}</math> 
* <math>dS_c</math>= distanza infinitesima sulla carta 
* <math>dS_e</math>= distanza infinitesima sull'ellissoide di partenza
Notiamo che le grandezze che entrano in gioco sono l'arco di dimensione infinitesime sull'ellissoide e la relativa rappresentazione sulla carta.

Utilizzando il teorema di Pitagora posso ricavare i seguenti valori delle grandezze: 
* <math>dS_e^2=\rho^2d\phi^2+r^2d\lambda^2</math> 
* <math>dS_c^2=dx^2+dy^2</math> 
dove <math>\varphi</math> è uguale alla [[Latitudine]], <math>\lambda</math> corrisponde alla [[Longitudine]].

Però la rappresentazione sul piano dell'ellissoide è data da <math>f(n) = \begin{cases} x=f(\phi,\lambda) \\ y=f(\phi,\lambda) \end{cases}</math>

Quindi per la distanza infinitesima sulla carta avrò <math>f(n) = \begin{cases} dx={dx \over d\varphi}d\varphi+{dx \over d\lambda}d\lambda \\ dy= {dy \over d\varphi}d\varphi+{dy \over d\lambda}d\lambda\end{cases}</math>

Ora posso sostituire <math>dx</math> e <math>dy</math> nella equazione di <math>dS_c^2</math>

Perciò <math>dS_c^2=\Bigl({dx \over d\varphi}d\varphi+{dx \over d\lambda}d\lambda\Bigr)^2+\Bigl({dy \over d\varphi}d\varphi+{dy \over d\lambda}d\lambda\Bigr)^2=</math>

<math>=\Bigl({dx \over d\varphi}\Bigr)^2d\varphi^2+\Bigl({dx \over d\lambda}\Bigr)^2d\lambda^2+2{dx \over d\varphi}{dx \over d\lambda}d\varphi d\lambda+\Bigl({dy \over d\varphi}\Bigr)^2d\varphi^2+\Bigl({dy \over d\lambda}\Bigr)^2d\lambda^2+2{dy \over d\varphi}{dy \over d\lambda}d\varphi d\lambda=</math>

<math>=\left [\Bigl( \frac{dx}{d\varphi}\Bigr)^2+\Bigl({dy \over d\varphi}\Bigr)^2 \right ]d\varphi^2+\left [\Bigl( \frac{dx}{d\lambda}\Bigr)^2+\Bigl({dy \over d\lambda}\Bigr)^2 \right ]d\lambda^2+2\left [ \frac{dx}{d\varphi}{dx \over d\lambda}+{dy \over d\varphi}{dy \over d\lambda} \right ]d\varphi d\lambda=</math>

<math>=ed\varphi ^2+gd\lambda^2+2fd\varphi d\lambda</math>

I parametri <math>e</math>, <math>g</math> ed <math>f</math> prendono il nome di elementi fondamentali gaussiani.

Perciò sostituendo nella definizione di partenza avrò  <math>m_L^2={ed\varphi^2+gd\lambda^2+2fd\varphi d\lambda \over \rho^2d\varphi^2+r^2d\lambda^2}</math>

Però nota la tangente della direzione per cui si vuole calcolare il modulo di deformazione:  <math>\tan\alpha_E={rd\lambda \over \rho d\varphi} \Longrightarrow \tan\alpha_E^2={r^2d\lambda^2 \over \rho^2d\varphi^2} \Longrightarrow {\rho^2 \over r^2}\tan^2\alpha_E={d\lambda^2 \over d\varphi^2} \Longrightarrow \rho^2\tan^2\alpha_Ed\varphi^2=r^2d\lambda^2</math>

Si può sostituire <math>r^2d\lambda^2</math> in <math>m_L^2</math> ottenendo <math>m_L^2={ed\varphi^2+gd\lambda^2+2fd\varphi d\lambda \over \rho^2d\varphi^2+\rho^2\tan^2\alpha_Ed\varphi^2}</math>

e sostituendo <math>d\lambda</math> a numeratore <math>m_L^2={ed\varphi^2+g{\rho^2 \over r^2}\tan^2\alpha_Ed\varphi^2+2f{\rho \over r}\tan\alpha_Ed\varphi^2 \over \rho^2(1+\tan^2\alpha_E)d\varphi^2}</math>
[[File:Variazione azimut.png|miniatura|Dipendenza del modulo di deformazione lineare dall'azimut]]
<math>={\Bigl(e+g{\rho^2 \over r^2}\tan^2\alpha_E+2f{\rho \over r}\tan\alpha_E\Bigr)d\varphi^2 \over \rho^2(1+\tan^2\alpha_E)d\varphi^2}</math>

Semplificando <math>d\varphi^2</math> trovo che il valore del modulo di deformazione lineare è uguale a:

<math>m_L=\sqrt{{e+g{\rho^2 \over r^2}\tan^2\alpha_E+2f{\rho \over r}\tan\alpha_E \over \rho^2(1+\tan^2\alpha_E)}}</math>

Come si può notare dalla formula finale, il valore di <math>m_L</math> dipende da due parametri differenti:
* dalla posizione del punto sull'[[Ellissoide di riferimento]] <math>(\varphi,\lambda)</math> e quindi  <math>(\rho,r)</math>
* dalla direzione secondo la quale si è voluto ricavarlo <math>\alpha_E</math>

==Esempio==
Si consideri una [[Proiezione stereografica|proiezione stereografica polare]], che come si vedrà serve alla rappresentazione delle calotte polari da ±80° sino ai due rispettivi poli. La proiezione è conforme e la sua equazione è la seguente:
[[File:Stereographic projection SW.JPG|miniatura|Esempio di stereografica polare]]
<math>x=-2R\sin\lambda\tan(45^\circ-\frac{\varphi}{2})</math>

<math>y=2R\cos\lambda\tan(45^\circ-\frac{\varphi}{2})</math>

Eliminando φ dalle equazioni precedenti e dividendo membro a membro, si ottiene:

<math>x=-y\tan\lambda</math>   che è l'equazione di una retta e indica che i meridiani si trasformano, sul piano cartografico, in rette.

Se invece si elimina λ , si eleva al quadrato e si somma membro a membro, si ottiene:

<math>x^2+y^2=4R^2\tan^2(45^\circ-\frac{\varphi}{2})</math>   che è l'equazione di un cerchio; quindi le trasformate dei paralleli sono circonferenze concentriche. In particolare, l'equatore è sulla carta una circonferenza di raggio pari a 2R; infatti il modulo di deformazione lineare è dato da:

<math>m=\frac{1}{cos^2(45^\circ-\frac{\varphi}{2})}</math>   e come ben si vede vale 2 all'equatore (cioè per φ=0°), è invece piccolo e pari a 1,00765 per φ=80° e questa è la ragione per cui la proiezione stereografica polare è usata dal polo sino a quella latitudine.

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* Giorgio Bezoari e Attilio Selvini, ''Manuale di topografia moderna ,'' Milano, CittàStudiEdizioni, ISBN 88-251-7158-7

== Voci correlate ==
* [[Cartografia]]
* [[Ellissoide di riferimento]]
* [[Indicatore di Tissot]]
* [[Proiezione cartografica]]
* [[Mappa conforme]]
* [[Proiezione stereografica]]
{{Portale|geografia}}

[[Categoria:Cartografia]]