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In [[matematica]], un '''gruppoide''' è una [[struttura algebrica]] usata per generalizzare [[gruppo (matematica)|gruppi]] e [[azione di gruppo|azioni di gruppo]].

Il concetto di gruppoide è stato introdotto da [[Heinrich Brandt]] nel [[1927]]<ref>{{de}}{{collegamento interrotto|1=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=27941 H. Brandt Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes Mathematische Annalen 96, 1927, 360-366] |data=maggio 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>; spesso quindi tale entità viene chiamata '''gruppoide di Brandt'''.

Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei [[Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in [[geometria differenziale]] è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto '''gruppoide di Lie.'''<ref>{{Cita libro|cognome=Mackenzie, K. (Kirill)|titolo=Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry|url=https://www.worldcat.org/oclc/839305395|accesso=2020-02-08|data=1987|editore=Cambridge University Press|OCLC=839305395|ISBN=978-1-107-36145-4}}</ref><ref>{{Cita libro|cognome=Mackenzie, K. (Kirill)|titolo=General theory of lie groupoids and lie algebroids|url=https://www.worldcat.org/oclc/841393151|accesso=2020-02-08|data=2005|editore=Cambridge University Press|OCLC=841393151|ISBN=978-1-107-32588-3}}</ref>

==Definizione==
In senso [[algebra astratta|algebrico]], un gruppoide è definito come un [[insieme (matematica)|insieme]] <math>G</math> munito di una [[funzione parziale]] <math>\oplus</math> e di una [[funzione totale]] <sup>−1</sup> che soddisfano le seguenti condizioni per ogni <math>f</math> e <math>g</math> in <math>G</math>:
* <math>\oplus</math> è [[associatività|associativa]], cioè se esistono sia <math>f \oplus g</math> che <math>g \oplus h</math>, allora <math>(f \oplus g) \oplus h</math> e <math>f \oplus (g \oplus h)</math> sono definite e coincidono;
* <math>f^{-1} \oplus f</math> e <math>f \oplus f^{-1}</math> sono sempre definite;
* Se <math>f \oplus g</math> è definita, allora  <math>f \oplus g \oplus g^{-1}=f</math> e <math>f^{-1} \oplus f \oplus g = g</math> (non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).

In senso [[Teoria delle categorie|categoriale]], un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i [[Morfismo|morfismi]] sono invertibili. Denotando <math>G</math> e <math>M</math>, rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti ''mappe di struttura'':

* Una mappa sorgente <math>s\colon G \rightarrow M</math>, che associa ad ogni morfismo <math>g\colon x \to y</math> il suo oggetto sorgente <math>x.</math>
* Una mappa bersaglio <math>t\colon G \rightarrow M</math>, che associa ad ogni morfismo <math>g\colon x \to y</math> il suo oggetto bersaglio <math>y.</math>
* Una [[moltiplicazione]] parziale <math>m\colon G \times_M G \rightarrow G</math>, che associa a due morfismi compatibili <math>g_2\colon y \to z</math> e <math>g_1\colon x \to y</math> la loro composizione <math>g_2 \cdot g_1\colon x \to z.</math>
* Una mappa unità <math>u\colon M \rightarrow G</math>, che associa ad ogni oggetto <math>x</math> il morfismo identità <math>\mathrm{id}_x.</math> 
* Una mappa inversione <math>i\colon G \rightarrow G</math>, che associa ad ogni morfismo <math>g\colon x \to y</math> il suo inverso <math>g^{-1}\colon y \to x.</math>

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da <math>G \rightrightarrows M</math> (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

== Esempi e prime proprietà ==
Dato un gruppoide <math>G \rightrightarrows M</math>, si definisce ''orbita attraverso <math>x \in M</math>'' l'insieme <math>\mathcal{O}(x):= t (s^{-1}(x) ) \subseteq M</math> degli elementi di <math>M</math> che si collegano ad <math>x</math> tramite un morfismo di <math>G</math>. Le orbite di un gruppoide formano una [[Partizione (teoria degli insiemi)|partizione]] di <math>M</math>; un gruppoide è detto ''transitivo'' se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di <math>M</math> possono essere da morfismi.

L'insieme <math>G_x:= s^{-1}(x) \cap t^{-1}(x) \subseteq G</math> dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a <math>x</math> è detto ''gruppo di isotropia'' in <math>x \in M</math>, e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti <math>x</math> e <math>y</math> sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia <math>G_x</math> e <math>G_y</math> sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di [[isotropia]] di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di '''morfismo di gruppoidi''' e di '''sottogruppoide''' sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

* Ogni gruppo <math>G</math> è un gruppoide <math>G \rightrightarrows \{*\}</math> con un solo oggetto.
* Dato un insieme <math>M</math>, il gruppoide unità <math>M \rightrightarrows M</math> è il gruppoide con <math>s = t = \mathrm{id}_M</math> e moltiplicazione triviale.
* Dato un insieme <math>M</math>, il gruppoide coppia <math>M \times M \rightrightarrows M</math> è il gruppoide con sorgente <math>s(x,y) = y</math>, bersaglio <math>t(x,y) = x</math> e moltiplicazione <math>(x,y) \cdot (y,z) = (x,z).</math>
* Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo <math>G</math> su un insieme <math>M,</math> il gruppoide di azione <math>G \times M \rightrightarrows M</math> è definito sorgente <math>s(g,x) = x</math>, bersaglio <math>t(g,x) = g \cdot x</math> e moltiplicazione <math>(h,g \cdot x) \cdot (g,x) = (hg,x).</math>

== Gruppoidi con strutture geometriche ==
Un '''gruppoide topologico''' è un gruppoide <math>G \rightrightarrows M</math> in cui <math>G</math> e <math>M</math> sono [[Spazio topologico|spazi topologici]], le mappe di struttura sono [[Funzione continua|continue]], e le mappe sorgente e bersaglio sono [[Funzione aperta|aperte]]. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un [[gruppo topologico]].

Analogamente, un '''gruppoide di Lie''' è un gruppoide topologico <math>G \rightrightarrows M</math> in cui <math>G</math> e <math>M</math> sono [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]], le mappe di struttura sono [[Funzione liscia|lisce]], e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un [[gruppo di Lie]]. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo '''algebroide di Lie''', che generalizza il concetto di [[algebra di Lie]].<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|nome=Marius|cognome=Crainic|data=2003-03-01|titolo=Integrability of Lie brackets|rivista=Annals of Mathematics|volume=157|numero=2|pp=575-620|accesso=2020-02-08|doi=10.4007/annals.2003.157.575|url=https://doi.org/10.4007/annals.2003.157.575|nome2=Rui|cognome2=Fernandes}}</ref>

Un gruppoide di Lie <math>G \rightrightarrows M</math> può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà <math>G</math> con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Yvette|cognome=Kosmann-Schwarzbach|data=2016|titolo=Multiplicativity, from Lie groups to generalized geometry|rivista=Banach Center Publications|volume=110|pp=131-166|lingua=en|accesso=2020-02-08|doi=10.4064/bc110-0-10|url=http://www.impan.pl/get/doi/10.4064/bc110-0-10}}</ref>. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in [[geometria simplettica]] e [[Varietà di Poisson|geometria di Poisson]]<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Alan|cognome=Weinstein|data=1987-01-01|titolo=Symplectic groupoids and Poisson manifolds|rivista=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=16|numero=1|pp=101-105|accesso=2020-02-08|doi=10.1090/s0273-0979-1987-15473-5|url=http://dx.doi.org/10.1090/s0273-0979-1987-15473-5}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Alan|cognome=Weinstein|data=1988-10|titolo=Coisotropic calculus and Poisson groupoids|rivista=Journal of the Mathematical Society of Japan|volume=40|numero=4|pp=705-727|lingua=en|accesso=2020-02-08|doi=10.2969/jmsj/04040705|url=http://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1230129807}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Marius|cognome=Crainic|data=2004-01|titolo=Integrability of Poisson Brackets|rivista=Journal of Differential Geometry|volume=66|numero=1|pp=71-137|lingua=en|accesso=2020-02-08|doi=10.4310/jdg/1090415030|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090415030|nome2=Rui Loja|cognome2=Fernandes}}</ref> e in [[teoria delle foliazioni]]<ref>{{Cita libro|cognome=Moerdijk, Ieke e Mrc̆un, Janez|titolo=Introduction to foliations and Lie groupoids|url=https://www.worldcat.org/oclc/57254299|accesso=2020-02-08|data=2003|editore=Cambridge University Press|OCLC=57254299|ISBN=0-511-06307-5}}</ref>.

== Note ==
<references/>

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei gruppi]]
[[Categoria:Strutture algebriche]]