Visualizza wikitesto di Gruppo unitario speciale

In [[matematica]], il '''gruppo unitario speciale''' di grado <math>n</math> è il [[gruppo (matematica)|gruppo]] delle [[matrice unitaria|matrici unitarie]] <math>n \times n</math> con [[Determinante (algebra)|determinante]] <math>1</math> dotato della [[Moltiplicazione di matrici|consueta moltiplicazione]].

Il gruppo speciale unitario, indicato con <math>SU(n)</math>, è un [[sottogruppo]] del [[gruppo unitario]] <math>U(n)</math>, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del [[gruppo lineare generale]] <math>GL(n,\mathbb{C})</math>.

Il caso più semplice, ovvero <math>SU(1)</math>, è un [[gruppo banale]], contenente cioè un solo elemento. Il gruppo <math>SU(2)</math> è [[isomorfismo|isomorfo]] rispetto al gruppo dei [[quaternioni]] di [[valore assoluto]] pari a 1, ed è perciò [[diffeomorfismo|diffeomorfo]] alla [[sfera]] in quattro dimensioni (definita [[ipersfera|3-sfera]]). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare [[rotazione|rotazioni]] nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'[[omeomorfismo]] è [[Funzione suriettiva|suriettivo]] da <math>SU(2)</math> sul [[gruppo ortogonale speciale|gruppo ortogonale speciale SO(3)]] il cui [[nucleo (matematica)|nucleo]] è <math>\{+I, -I\}</math>.

== Proprietà ==

Il gruppo speciale unitario <math>SU(n)</math> è un [[gruppo di Lie]] di dimensione <math>n^2  - 1</math>. [[topologia|Topologicamente]], è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista [[algebra|algebrico]], è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il [[centro di un gruppo|centro]] di <math>SU(n)</math> è isomorfo al gruppo ciclico '''Z'''<sub>n</sub>. Il suo gruppo di [[automorfismo|automorfismi esterni]], per <math>n \ge 3</math>, è '''Z'''<sub>2</sub>, mentre quello di <math>SU(2)</math> è il gruppo banale.

== Algebra di Lie ==
L'[[algebra di Lie]] <math>\mathfrak{su}(n)</math> di <math>\operatorname{SU}(n)</math> consiste di [[Matrice antihermitiana|matrici anti-hermitiane]] <math>n \times n</math> con traccia zero.<ref name="Hall_2015">{{Cita|Hall 2015|Proposizione 3.24}}.</ref> Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione <math>n^2 - 1</math>.

===Rappresentazione fondamentale===
Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (''non'' antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore <math>i</math>. Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori <math>T_a</math> che sono matrici <math>n\times n</math> complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

:<math>T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}\left(if_{abc} + d_{abc}\right) T_c</math>

dove le <math>f</math> sono le [[costanti di struttura]] e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti <math>d</math> sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

:<math>\begin{align}
  \left\{T_a, T_b\right\} &= \frac{1}{n}\delta_{ab} I_n + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \\
    \left[T_a, T_b\right] &= i \sum_{c=1}^{n^2 -1} f_{abc} T_c\,.
\end{align}</math>

Il fattore <math>i</math> nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

:<math>\sum_{c,e=1}^{n^2 - 1} d_{ace}d_{bce} = \frac{n^2 - 4}{n} \delta_{ab}</math>
I generatori <math>T_a</math> soddisfano inoltre l'[[identità di Jacobi]]<ref name="taylorfrancis.com">{{Cita libro|nome=Howard|cognome=Georgi|titolo=Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories|url=https://www.taylorfrancis.com/books/9780429499210|accesso=17 agosto 2024|edizione=1|data=4 maggio 2018|editore=CRC Press|lingua=en|ISBN=978-0-429-49921-0|DOI=10.1201/9780429499210}}</ref>:

<math>[T_a,[T_b,T_c]]+[T_b,[T_c,T_a]]+[T_c,[T_a,T_b]]=0</math>

In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore <math>1/2</math> davanti: nel caso del gruppo <math>SU(2)</math>, si prendono come generatori le matrici <math>\frac{1}{2} \sigma_1, \frac{1}{2} \sigma_2, \frac{1}{2} \sigma_3 </math> dove <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math> sono le [[matrici di Pauli]], mentre per il gruppo <math>SU(3)</math> si definiscono i generatori <math>T_a = \frac{1}{2} \lambda_a</math> dove <math>\lambda_a</math> sono le [[matrici di Gell-Mann]]<ref name="taylorfrancis.com"/>. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:

<math>Tr(T_a T_b) = \frac{1}{2} \delta_{ab}</math>

===Rappresentazione aggiunta===
Nella [[rappresentazione aggiunta]] <math>(n^2-1)</math>-dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici <math>(n^2-1)\times (n^2-1)</math>, i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

:<math>\left(T_a\right)_{jk} = -if_{ajk}.</math>
=== Struttura dell'algebra ===
La complessificazione dell'algebra di Lie <math>\mathfrak{su}(n)</math> è <math>\mathfrak{sl}(n; \mathbb{C})</math>, lo spazio di tutte le matrici complesse <math>n\times n</math> con traccia nulla.<ref>{{Cita|Hall 2015|Sezione 3.6}}.</ref> Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle [[Matrice diagonale|matrici diagonali]] con traccia nulla,<ref>{{Cita|Hall 2015|Sezione 7.7.1}}.</ref> che si identifica con i vettori in <math>\mathbb C^n</math> tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le [[Sistema di radici|radici]] sono tutte le <math>n(n-1)</math> [[Permutazione|permutazioni]] di <math>(1,-1,0,\dots,0)</math>.

Una scelta di radici semplici è data da:
:<math>\begin{align}
  (&1, -1,  0, \dots, 0,  0), \\
  (&0,  1, -1, \dots, 0,  0), \\
   &\vdots                    \\
  (&0,  0,  0, \dots, 1, -1).
\end{align}</math>

Pertanto <math>SU(n)</math> ha rango <math>n-1</math> e il suo [[diagramma di Dynkin]] è quello di <math>A_{n-1}</math>, cioè una catena lineare di <math>n-1</math> nodi.<ref>{{Cita|Hall 2015|Sezione 8.10.1}}.</ref> La [[matrice di Cartan]] è
:<math>\begin{pmatrix}
     2 & -1 &  0 & \dots & 0 \\
    -1 &  2 & -1 & \dots & 0 \\
     0 & -1 &  2 & \dots & 0 \\
     \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 & 0 & 0 & \dots & 2
  \end{pmatrix}.
</math>

Il suo [[gruppo di Weyl]] o [[gruppo di Coxeter]] è il [[gruppo simmetrico]].

==Il gruppo SU(2)==

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,<ref>{{Cita|Hall 2015|Esercizio 1.5}}.</ref>

:<math>\operatorname{SU}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta} \\ \beta & \overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta \in \mathbb{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \right\}~,</math>

dove la barra indica l'operazione di [[Complesso coniugato|coniugazione complessa]].

=== Diffeomorfismo con la 3-sfera ===
Considerando <math>\alpha,\beta</math> come coppia in <math>\mathbb{C}^2</math> dove <math>\alpha=a+bi</math> e <math>\beta=c+di</math>, allora l'equazione <math>|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math> diventa

:<math> a^2  +  b^2   +  c^2  +  d^2 = 1 </math>

che equivale all'equazione della [[3-sfera]] S<sup>3</sup>. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa
:<math>\begin{align}
  \varphi \colon \mathbb{C}^2 &\to \operatorname{M}(2, \mathbb{C}) \\[5pt]
       \varphi(\alpha, \beta) &= \begin{pmatrix} \alpha & -\overline{\beta}\\ \beta & \overline{\alpha}\end{pmatrix},
\end{align}</math>

dove <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando <math>\mathbb{C}^2</math> [[Diffeomorfismo|diffeomorfo]] a <math>\mathbb{R}^4</math> e <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> diffeomorfo a <math>\mathbb{R}^8</math>). Quindi, la restrizione di <math>\varphi</math> alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con <math>S^3</math>, è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math>, nello specifico <math>\varphi(S^3) = SU(2)</math>.

Pertanto, come varietà, <math>S^3</math> è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è [[semplicemente connesso]] e che <math>S^3</math> può essere munita con la struttura di un [[gruppo di Lie]] connesso e compatto.

===Isomorfismo con i quaternioni unitari===
La matrice complessa
:<math> \begin{pmatrix} 
    a + bi & c + di \\ 
    -c + di &  a - bi
  \end{pmatrix} \quad
  (a, b, c, d \in \mathbb{R})
</math>

può essere mappata a un [[quaternione]] come:
:<math>a\,\hat{1} + b\,\hat{i} + c\,\hat{j} + d\,\hat{k}</math>

e la mappa che li lega è un [[isomorfismo]]. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante&nbsp;1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.<ref>{{cita web|url=http://alistairsavage.ca/mat4144/notes/MAT4144-5158-LieGroups.pdf |serie=MATH 4144 notes |titolo=LieGroups |autore=Savage, Alistair}}</ref>

=== Algebra di Lie ===
L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici <math>2\times 2</math> antihermitiane a traccia nulla.<ref name="Hall_2015" /> Esplicitamente, ciò significa che
:<math>\mathfrak{su}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} i\ a & -\overline{z} \\ z & -i\ a \end{pmatrix}:\ a \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C} \right\}~.</math>

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,
:<math>u_1 = \begin{pmatrix}
    0 & i \\
    i & 0
  \end{pmatrix}, \quad
  u_2 = \begin{pmatrix}
    0 & -1 \\
    1 &  0
  \end{pmatrix}, \quad
  u_3 = \begin{pmatrix}
    i &  0 \\
    0 & -i
  \end{pmatrix}~,
</math>
che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle [[matrici di Pauli]].dalle formule <math>u_1 = i\ \sigma_1~, \, u_2 = -i\ \sigma_2</math> e <math>u_3 = +i\ \sigma_3~.</math>

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni  <math>u_2\ u_3 = -u_3\ u_2 = u_1~,</math>  <math>u_3\ u_1 = -u_1\ u_3 = u_2~,</math>  e <math>u_1 u_2 = -u_2\ u_1 = u_3</math>, il commutatore è quindi specificato da
:<math>\left[u_3, u_1\right] = 2\ u_2, \quad \left[u_1, u_2\right] = 2\ u_3, \quad \left[u_2, u_3\right] = 2\ u_1~.</math>

Questa rappresentazione è usata comunemente in [[meccanica quantistica]] per rappresentare lo [[spin]] delle [[particelle fondamentali]] come l'[[elettrone]].
==Il gruppo SU(3)==

=== Gruppo di Lie ===
<math>SU(3)</math> è un [[gruppo di Lie semplice]] di dimensione 8 contenente tutte le [[Matrice unitaria|matrici unitarie]] 3×3 con [[Determinante (algebra)|determinante]] 1. È un [[gruppo compatto]] e [[semplicemente connesso]].<ref>{{Cita|Hall 2015|Proposizione 13.11}}.</ref> La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.<ref>{{Cita|Hall 2015|Capitolo 6}}.</ref>

===Algebra di Lie===
I generatori <math>T</math>, dell'algebra di Lie <math>\mathfrak{su}(3)</math> del gruppo <math>SU(3)</math> nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della [[fisica delle particelle]]), sono
:<math>T_a = \frac{\lambda_a}{2}~,  </math>
dove <math>\lambda</math> indica le [[matrici di Gell-Mann]], l'analogo per SU(3) delle [[matrici di Pauli]] per SU(2):
:<math>\begin{align}
  \lambda_1 ={} &\begin{pmatrix} 0 &  1 &  0 \\ 1 &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & 
  \lambda_2 ={} &\begin{pmatrix} 0 & -i &  0 \\ i &  0 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & 
  \lambda_3 ={} &\begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 & -1 &  0 \\ 0 & 0 &  0 \end{pmatrix}, \\[6pt]
  \lambda_4 ={} &\begin{pmatrix} 0 &  0 &  1 \\ 0 &  0 &  0 \\ 1 & 0 &  0 \end{pmatrix}, & 
  \lambda_5 ={} &\begin{pmatrix} 0 &  0 & -i \\ 0 &  0 &  0 \\ i & 0 &  0 \end{pmatrix}, \\[6pt]
  \lambda_6 ={} &\begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 \\ 0 & 1 &  0 \end{pmatrix}, & 
  \lambda_7 ={} &\begin{pmatrix} 0 &  0 &  0 \\ 0 &  0 & -i \\ 0 & i &  0 \end{pmatrix}, & 
  \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}
                &\begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
\end{align}</math>

In quanto generatori, [[Combinazione lineare|combinazioni lineari]] di queste <math>\lambda_a</math> coprono tutte le [[Matrice hermitiana|matrici hermitiane]] a [[Traccia (matrice)|traccia]] nulla <math>H</math>. Si osservi che <math>\lambda_2</math>, <math>\lambda_5</math> e <math>\lambda_7</math> sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione
:<math>\begin{align}
    \left[T_a, T_b\right] &= i \sum_{c=1}^8 f_{abc} T_c, \\
  \left\{T_a, T_b\right\} &= \frac{1}{3} \delta_{ab} I_3 + \sum_{c=1}^8 d_{abc} T_c,
\end{align}</math>
derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,
:<math>\{\lambda_a, \lambda_b\} = \frac{4}{3}\delta_{ab} I_3 + 2\sum_{c=1}^8{d_{abc} \lambda_c}</math>.

I coefficienti <math>f</math> sono le [[costanti di struttura]], determinate da
: <math>\begin{align}
                                                      f_{123} &= 1, \\
  f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} &= \frac{1}{2}, \\
                                           f_{458} =  f_{678} &= \frac{\sqrt{3}}{2},
\end{align}</math>
mentre tutte le altre <math>f_{abc}</math> che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di {{frac|1|6}} di tutte le <math>f_{abc}</math> sono non nulle.

I coefficienti simmetrici <math>d</math> assumono i valori:
: <math>\begin{align}
                                             d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} &=  \frac{1}{\sqrt{3}} \\
                                             d_{448} = d_{558} = d_{668} =  d_{778} &= -\frac{1}{2\sqrt{3}} \\
  d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = -d_{247} = d_{146} = d_{157} =  d_{256} &=  \frac{1}{2} ~.
\end{align}</math>

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla <math>H</math>, con la normalizzazione <math>\operatorname{tr}(H^2)=2</math>, può essere espresso come un [[polinomio]] di matrici del secondo ordine in <math>H</math>:<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Rosen|nome1=S P|titolo=Finite Transformations in Various Representations of SU(3)|rivista=Journal of Mathematical Physics|volume=12|numero=4|anno=1971|pp=673-681 |doi=10.1063/1.1665634|bibcode=1971JMP....12..673R}};  {{Cita pubblicazione|doi=10.1016/S0034-4877(15)30040-9|titolo=Elementary results for the fundamental representation of SU(3)|autore1=Curtright, T L|autore2=Zachos, C K|anno=2015|rivista=Reports on Mathematical Physics|volume=76|numero=3|pp=401-404|bibcode=2015RpMP...76..401C|arxiv=1508.00868}}</ref>
: <math>\begin{align}
  \exp(i\theta H) ={}
          &\left[-\frac{1}{3} I\sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H\sin(\varphi) - \frac{1}{4}~H^2\right]
           \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta\sin(\varphi)\right)}
                {\cos\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)} \\[6pt]
    & {} + \left[-\frac{1}{3}~I\sin(\varphi) \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H\sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}~H^{2}\right]
           \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta \sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right)\right)}
                {\cos(\varphi) \cos\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)} \\[6pt]
    & {} + \left[-\frac{1}{3}~I\sin(\varphi) \sin\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{3}}~H \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}~H^2\right]
           \frac{\exp\left(\frac{2}{\sqrt{3}}~i\theta \sin\left(\varphi - \frac{2\pi}{3}\right)\right)}
                {\cos(\varphi)\cos\left(\varphi + \frac{2\pi}{3}\right)}
\end{align}</math>

dove
:<math>\varphi \equiv \frac{1}{3}\left[\arccos\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\det H\right) - \frac{\pi}{2}\right].</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=Brian C. Hall|titolo=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|ed=2|collana=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|editore=Springer|anno=2015|isbn=978-3319134666|cid=Hall 2015}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Gruppi di Lie]]