Visualizza wikitesto di Funzione definita a tratti

{{F|matematica|dicembre 2020}}
In [[matematica]] una '''funzione definita a tratti''' (o semplicemente '''funzione a tratti''') è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del [[Dominio e codominio|dominio]] della funzione definita a tratti.<ref>{{Cita web|url=https://www.cupparisalvati.edu.it/matematica/schede/funzioni_a_tratti.pdf|titolo=Funzioni definite a tratti|autore=Manuela Pucci|accesso=18 novembre 2022|dataarchivio=18 novembre 2022|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221118074919/https://www.cupparisalvati.edu.it/matematica/schede/funzioni_a_tratti.pdf|urlmorto=sì}}</ref><ref name=":0">{{MathWorld}}</ref> Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

== Notazione ==
Una funzione definita a tratti tipica è la funzione [[valore assoluto]]. La notazione standard è la seguente:<ref name=":0" />

:<math>|x| = \begin{cases}
  -x, & \text{se } x < 0, \\
  x,  & \text{se } x \ge 0.
\end{cases}</math>

La funzione è definita dalle sottofunzioni <math>-x</math> e <math>x</math>, valide rispettivamente negli intervalli <math>(-\infty,0)</math> e <math>[0,\infty)</math>.

== Continuità ==
[[File:Upper semi.svg|miniatura|Una funzione a tratti composta da funzioni quadratiche diverse ai due lati del punto <math>x_0</math>]]
Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

* la funzione è definita su tutto l'intervallo;
* le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
* non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli <math>(-\infty,x_0)</math> e <math>[x_0,+\infty)</math> in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di [[Punto di discontinuità|discontinuità a salto]]: il punto <math>x_0</math>.

== Esempi ==
Le seguenti funzioni sono definite a tratti:
* [[Funzione gradino|funzioni a gradino]], funzioni definite da sottofunzioni costanti;
** [[funzione gradino di Heaviside]];
** [[funzione segno]];
* funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
** [[valore assoluto]];
*[[funzione spline]], funzione costituita da un [[insieme]] di [[Polinomio|polinomi]] raccordati tra loro, il cui scopo è [[Interpolazione|interpolare]] in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di [[Derivata|derivate]] in ogni punto dell'intervallo.
== Note ==
<references/>
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni matematiche]]