Visualizza wikitesto di Funzione base-13 di Conway

La '''funzione base-13 di Conway''' è una funzione costruita dal [[matematico]] [[Regno Unito|britannico]] [[John H. Conway]]. La funzione soddisfa la tesi del [[teorema dei valori intermedi]] senza essere [[funzione continua|continua]]. 

== Obiettivo ==
Il [[teorema dei valori intermedi]] asserisce che ogni funzione continua <math>f</math> definita su un intervallo reale soddisfa la proprietà seguente: se <math>a, b</math> sono due punti dell'intervallo tali che <math>f(a)<f(b)</math> e <math>x</math> è un numero reale tale che <math>f(a)<x<f(b)</math> allora esiste un <math>c</math> compreso fra <math>a</math> e <math>b</math> tale che <math>f(c)=x</math>.

La funzione base-13 di Conway è una funzione discontinua in ogni punto che soddisfa comunque la tesi del teorema. Gli unici esempi noti precedentemente avevano discontinuità solo in alcuni punti isolati: un esempio è la funzione
:<math>f(x) = \sin{\frac 1 x}.</math>
definita su tutta la retta reale imponendo in zero il valore <math>f(0)=0</math>. Anche questa funzione soddisfa la tesi del teorema, ed è discontinua nell'origine.

== Definizione ==
La funzione base-13 di Conway è una funzione <math>f: (0,1) \to \mathbb{R} </math> definita come segue.

Si indichino con <math>\{0,1,2,\ldots,9,A,B,C\}</math> le cifre in [[Base (aritmetica)|base]] <math>13</math> e si consideri la rappresentazione 
:<math>a_\dots a_m,a_{m+1}\dots a_n\dots</math>
di <math> x \in (0,1) </math> in tale base (rappresentazione che è unica se si esclude il caso di sequenze infinite di <math>C</math>). Allora <math>f(x)=0</math> a meno che esista un indice <math>j</math> tale che:
*<math> a_j\in\{B,C\};</math>
*<math> a_i\in\{0,1,2,\ldots,9,A\}</math> per <math>i>j;</math>
*esiste un unico <math>k>j</math> tale che <math> a_k=A.</math>
In questo caso si definisce <math>f(x)</math> ponendo
:<math>f(x):=\pm a_{j+1}\ldots a_{k-1},a_{k+1}a_{k+2}\ldots</math>
[[Sistema numerico decimale|in base 10]], ove il segno è <math>+</math> se <math> a_j=C</math> e <math>-</math> se <math> a_j=B</math>.

== Proprietà ==
La cosa importante da notare è che la funzione <math>f</math> definita in tal modo soddisfa l'inverso del teorema dei valori intermedi, ma non è continua in nessun punto. Infatti, in ogni intervallo chiuso e limitato <math>[a,b]</math> contenuto in <math>(0,1)</math>, <math>f</math> assume ogni valore reale e quindi in particolare ogni valore compreso tra <math>f(a)</math> e <math>f(b)</math>. Per vedere ciò, si noti che ogni <math>c\in\R</math> si può scrivere in base <math>10</math> come
:<math>c=\pm b_{1}\dots b_{l},b_{l+1}\ldots</math> 
per opportuni <math>b_{r}\in\{0,\dots,9\}</math>. Inoltre, è facile vedere che i numeri la cui espansione in base <math>13</math> è 
:<math>c=b_0 b_{1}\dots b_{l}Ab_{l+1}\dots</math> (ove <math>b_0=C,</math> se <math>c>0,</math> e <math>b_0=B</math> altrimenti)
sono [[insieme denso|densi]] in <math>\R</math> ed in particolare ve n'è almeno uno di essi, <math>d</math>, che è compreso in <math>[a,b]</math>. Si può concludere quindi osservando che dalla definizione di <math>f</math> si ha <math>f(d)=c.</math>

== Bibliografia ==
* Agboola, Adebisi, ''Lecture. Math CS 120'', Università della California, Santa Barbara, 17 dicembre 2005.

== Voci correlate ==
* [[Teorema di Darboux]]

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web | url = http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/08/03/la-funzione-base-13-di-conway/ | titolo = La funzione base-13 di Conway | sito = [[Il Post]] | nome = Maurizio | cognome = Codogno |giorno = 3 | mese = agosto | anno = 2010 | accesso = 3 giugno 2016}}

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{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]